题目 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp\mbox{底面}ABC$，$\angle BAC=90^\circ$．点 $D,E,N$ 分别为棱 $PA,PC,BC$ 的中点，$M$ 是线段 $AD$ 的中点，$PA=AC=4$，$AB=2$．<br><img src="/static/images/c88101034ec8914d523d882aee2c6009.png" class="img-responsive" />  问题1 求证：$MN\parallel\mbox{平面}BDE$； 答案1 略 解析1 取 $AB$ 中点，记为 $I$，连接 $MI,NI$，如图．<img src="/static/images/84ecfd57d2a88066d3bf05f867913349.png" class="img-responsive" /> 由 $M$ 为 $DA$ 中点，则 $MI$ 为 $\triangle ABD$ 的中位线，因此 $MI\parallel DB$；<br/>由 $N$ 为 $BC$ 中点，则 $NI$ 为 $\triangle ABC$ 的中位线，因此 $NI\parallel AC$，再结合 $D,E$ 为 $PA,PC$ 中点，则 $DE\parallel AC$，根据平行线的传递性，则 $NI\parallel DE$；<br/>又 $MI\cap MI=I$，$DB\cap DE=D$，因此，面 $BDE\parallel \text{平面} MIN$，又 $MN\subset \text{平面}MIN$，因此 $MN\parallel \text{平面}BDE$． 备注1 问题2 求二面角 $C-EM-N$ 的正弦值； 答案2 $\dfrac{\sqrt{105}}{21}$ 解析2 因为 $PA\perp \text{平面}ABC$，$AC\perp AB$，因此 $AP,AB,AC$ 两两垂直，所以可以 $A$ 为原点，$AB,AC,AP$ 分别为 $x,y,z$ 轴，建立空间直角坐标系，如上图．<br/>依题意可得$$E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0),\overrightarrow{EM}=(0,-2,-1),\overrightarrow{MN}=(1,2,-1),$$容易知道 $\overrightarrow{m}=(1,0,0)$ 为平面 $CEM$ 的一个法向量．<br/>设 $\overrightarrow{n}=(x,y,z)$ 为平面 $EMN$ 的一个法向量，则$$\begin{cases}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{EM}=0,\\ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{MN}=0\end{cases}\text{即} \begin{cases}-2y-z=0,\\x+2y-z=0\end{cases}$$不妨设 $y=1$，解得 $\overrightarrow{n}=(-4,1,-2)$．<br/>设二面角 $C-EM-N$ 的平面角为 $\theta$，则 $\theta\in[0,\pi]$，此时有$$|\cos\theta|=\left|\cos\left\langle\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\right\rangle\right|=\left|\dfrac{\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|}\right|=\dfrac{4}{\sqrt{21}},$$根据同角三角函数基本关系式及 $\theta$ 的范围，得$$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\dfrac{\sqrt{105}}{21},$$所以二面角 $C-EM-N$ 的正弦值为 $\dfrac{\sqrt{105}}{21}$． 备注2 问题3 已知点 $H$ 在棱 $PA$ 上，且直线 $NH$ 与直线 $BE$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt7}{21}$，求线段 $AH$ 的长． 答案3 $\dfrac85$ 或 $\dfrac12$ 解析3 设 $AH=h$，则 $h\in[0,4]$，此时有 $H(0,0,h)$，因此$$\overrightarrow{NH}=(-1,-2,h),\overrightarrow{BE}=(-2,2,2),$$设直线 $NH$ 与直线 $BE$ 所成角为 $\alpha$，则 $\alpha\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，此时有$$\cos\alpha=|\cos\left\langle\overrightarrow{NH},\overrightarrow{BE}\right\rangle|=\left|\dfrac{\overrightarrow{NH}\cdot\overrightarrow{BE}}{|NH|\cdot|BE|}\right|=\dfrac{\sqrt7}{21},$$整理得$$10h^2-21h+8=0,$$解得 $h=\dfrac85$ 或 $h=\dfrac12$．<br/>所以线段 $AH$ 的长为 $\dfrac85$ 或 $\dfrac12$． 备注3