如图，已知四棱锥 $P-ABCD$，$\triangle PAD$ 是以 $AD$ 为斜边的等腰直角三角形，$BC \parallel AD$，$CD \perp AD$，$PC=AD=2DC=2CB$，$E$ 为 $PD$ 的中点．
【难度】
【出处】
2017年高考浙江卷
【标注】
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证明：$CE \parallel PAB$；标注答案略解析如图 ①，设 $PA$ 中点为 $F$，连结 $EF$，$FB$．
因为 $E$，$F$ 分别为 $PD$，$PA$ 中点，所以 $EF \parallel AD$ 且 $EF=\dfrac 12 AD$，
又因为 $BC \parallel AD$ 且 $BC=\dfrac 12 AD$，所以 $EF \parallel BC$ 且 $EF=BC$，
即四边形 $BCEF$ 为平行四边形，所以 $CE \parallel BF$，而 $CE \not \subset PAB$，$BF\subset PAB$，
因此 $CE \parallel PAB$．
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求直线 $CE$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值．标注答案$\dfrac {\sqrt 2}{8}$解析如图 ②，分别取 $BC$、$AD$ 的中点 $M$、$N$．连结 $PN$ 交 $EF$ 于点 $Q$，过 $Q$ 作 $PB$ 的垂线，垂足为 $H$，连结 $MH$、$MQ$、$BN$．
因为 $E$、$F$、$N$ 分别是 $PD$、$PA$、$AD$ 的中点，所以 $Q$ 为 $EF$ 的中点．根据（1）易得 $MQ \parallel CE$．
因为 $\triangle PAD$ 是以 $AD$ 为斜边等腰直角三角形，$N$ 是 $AD$ 的中点，所以 $PN \perp AD$．
由 $CD \perp AD$，得 $BN \perp AD$，又 $BN \cap PN=N$，所以 $AD \perp \text{平面}PBN$，而 $BC\parallel AD$，所以 $BC \perp \text{平面}PBN$，因为 $QH \subset \text{平面}PBN$，所以 $BC \perp QH$，又因为 $QH \perp PB$，$PB \cap BC=B$，所以 $QH \perp \text{平面}PBC$，所以 $\angle QMH$ 为直线 $CE$ 与平面 $PBC$ 所成角．
设 $CD=1$，因为 $\triangle PAD$ 是以 $AD=2$ 为斜边的等腰直角三角形，所以 $PD=\sqrt 2$．在 $\triangle PCD$ 中，由余弦定理，得$$\cos \angle DPC=\dfrac {PD^2+PC^2-CD^2}{2PC \cdot PD}=\dfrac {5\sqrt 2}{8}.$$而在 $\triangle PCE$ 中，由余弦定理，得$$\cos \angle DPC=\dfrac {PE^2+PC^2-CE^2}{2PC \cdot PE} .$$解得 $CE=\sqrt 2$．同理可得 $PB=\sqrt 3$．
在 $\triangle PBN$ 中，由余弦定理，得$$\cos \angle BPN=\dfrac {PB^2+PN^2-BN^2}{2PB \cdot PN}=\dfrac {\sqrt 3}{2} .$$所以 $\angle BPN=30^{\circ}$，进而可得 $QH=\dfrac 14$，又 $MQ=\sqrt 2$，所以 $\sin\angle QMH=\dfrac {\sqrt 2}{8}$，即直线 $CE$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值为 $\dfrac {\sqrt 2}{8}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
