如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形，$\triangle PCD$ 为等边三角形，平面 $PAC\perp $ 平面 $PCD$，$PA\perp CD,CD=2,AD=3$．图片
（I）设 $G,H$ 分别为 $PB,AC$ 的中点，求证：$GH\parallel $ 平面 $PCD$；
（II）求证：$PA\perp $ 平面 $PCD$；
（III）求直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成角的正弦值．
（I）设 $G,H$ 分别为 $PB,AC$ 的中点，求证：$GH\parallel $ 平面 $PCD$；
（II）求证：$PA\perp $ 平面 $PCD$；
（III）求直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成角的正弦值．
【难度】
【出处】
2019年高考天津卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）连接 $BD$，易知 $AC\bigcap BD=H,BH=DH$．又由 $BG=PG$，故 $GH\parallel PD$．又因为 $GH\not\subset $ 平面 $PAD$，$PD\subset$ 平面 $PAD$，所以 $GH\parallel $ 平面 $PAD$．
（II）证明：取棱 $PC$ 的中点 $N$，连接 $DN$，依题意，得 $DN\perp PC$，又因为平面 $PAC\perp $ 平面 $PCD$，平面 $PAC\bigcap $ 平面 $PCD=PC$，所以 $DN\perp $ 平面 $PAC$，又 $PA\subset$ 平面 $PAC$，故 $DN\perp PA$．又已知 $PA\perp CD,CD\bigcap DN=D$，所以 $PA\perp $ 平面 $PCD$．
（III）连接 $AN$，由（II）中 $DN\perp $ 平面 $PAC$，可知 $\angle DAN$ 为直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成的角．
因为 $\triangle PCD$ 为等边三角形，$CD=2$ 且 $N$ 为 $PC$ 的中点，所以 $DN=\sqrt{3}$，又 $DN\perp AN$，在 $Rt\triangle AND$ 中，$\sin \angle DAN=\dfrac{DN}{AD}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．
所以，直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．
（II）证明：取棱 $PC$ 的中点 $N$，连接 $DN$，依题意，得 $DN\perp PC$，又因为平面 $PAC\perp $ 平面 $PCD$，平面 $PAC\bigcap $ 平面 $PCD=PC$，所以 $DN\perp $ 平面 $PAC$，又 $PA\subset$ 平面 $PAC$，故 $DN\perp PA$．又已知 $PA\perp CD,CD\bigcap DN=D$，所以 $PA\perp $ 平面 $PCD$．
（III）连接 $AN$，由（II）中 $DN\perp $ 平面 $PAC$，可知 $\angle DAN$ 为直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成的角．
因为 $\triangle PCD$ 为等边三角形，$CD=2$ 且 $N$ 为 $PC$ 的中点，所以 $DN=\sqrt{3}$，又 $DN\perp AN$，在 $Rt\triangle AND$ 中，$\sin \angle DAN=\dfrac{DN}{AD}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．
所以，直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．
答案
解析
备注
