如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp $ 平面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 为菱形，$E$ 为 $CD$ 的中点．
（I）求证：$BD\perp $ 平面 $PAC$；
（II）若 $\angle ABC=60^\circ$，求证：平面 $PAB\perp $ 平面 $PAE$；
（III）棱 $PB$ 上是否存在 $F$，使得 $CF\parallel$ 平面 $PAE$？说明理由．
（I）求证：$BD\perp $ 平面 $PAC$；
（II）若 $\angle ABC=60^\circ$，求证：平面 $PAB\perp $ 平面 $PAE$；
（III）棱 $PB$ 上是否存在 $F$，使得 $CF\parallel$ 平面 $PAE$？说明理由．
【难度】
【出处】
2019年高考北京卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）因为 $PA\perp $ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp BD$．
又因为底面 $ABCD$ 为菱形，所以 $BD\perp AC$．
所以 $BD\perp $ 平面 $PAC$．
（II）因为 $PA\perp $ 平面 $ABCD$，$AE\subset $ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp AE$．
因为底面 $ABCD$ 为菱形，$\angle ABC=60^\circ$，且 $E$ 为 $CD$ 的中点．
所以 $AE\perp CD$．
所以 $AB\perp AE$．
所以 $AE\perp$ 平面 $PAB$．
所以平面 $PAB\perp $ 平面 $PAE$．
（III）棱 $PB$ 上存在点 $F$，使得 $CF\parallel $ 平面 $PAE$．
取 $F$ 为 $PB$ 的中点，取 $G$ 为 $PA$ 的中点，连结 $CF,FG,EG$．
则 $FG\parallel AB$，且 $FG=\dfrac{1}{2}AB$．
因为底面 $ABCD$ 为菱形，且 $E$ 为 $CD$ 的中点．
所以 $CE\parallel AB$，且 $CE=\dfrac{1}{2}AB$．
所以 $FG\parallel CE$，且 $FG=CE$．
所以四边形 $CEGF$ 为平行四边形．
所以 $CF\parallel EG$．
因为 $CF\not \subset $ 平面 $PAE$，$EG\subset$ 平面 $PAE$．
所以 $CF\parallel $ 平面 $PAE$．
又因为底面 $ABCD$ 为菱形，所以 $BD\perp AC$．
所以 $BD\perp $ 平面 $PAC$．
（II）因为 $PA\perp $ 平面 $ABCD$，$AE\subset $ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp AE$．
因为底面 $ABCD$ 为菱形，$\angle ABC=60^\circ$，且 $E$ 为 $CD$ 的中点．
所以 $AE\perp CD$．
所以 $AB\perp AE$．
所以 $AE\perp$ 平面 $PAB$．
所以平面 $PAB\perp $ 平面 $PAE$．
（III）棱 $PB$ 上存在点 $F$，使得 $CF\parallel $ 平面 $PAE$．
取 $F$ 为 $PB$ 的中点，取 $G$ 为 $PA$ 的中点，连结 $CF,FG,EG$．
则 $FG\parallel AB$，且 $FG=\dfrac{1}{2}AB$．
因为底面 $ABCD$ 为菱形，且 $E$ 为 $CD$ 的中点．
所以 $CE\parallel AB$，且 $CE=\dfrac{1}{2}AB$．
所以 $FG\parallel CE$，且 $FG=CE$．
所以四边形 $CEGF$ 为平行四边形．
所以 $CF\parallel EG$．
因为 $CF\not \subset $ 平面 $PAE$，$EG\subset$ 平面 $PAE$．
所以 $CF\parallel $ 平面 $PAE$．
答案
解析
备注
