题目 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，平面 $PAD \perp $ 平面 $ABCD$，点 $M$ 在线段 $PB$ 上，$PD\parallel$ 平面 $MAC$，$PA=PD=\sqrt 6$，$AB=4$．<br><img src="/static/images/d6045845fb28bca6250af51f77d71703.png" class="img-responsive" />  问题1 求证：$M$ 为 $PB$ 的中点； 答案1 略 解析1 设 $AC\cap BD=N$，则 $N$ 为 $BD$ 中点，连结 $MN$．<img src="/static/images/d6b75a93734bd431e87b1d79c0a8c721.png" class="img-responsive" /> 因为 $PD\parallel $ 平面 $MAC$，$PD\subset $ 平面 $PBD$，平面 $PBD\cap $ 平面 $MAC=MN$，所以$$PD\parallel MN,$$则$$\dfrac{BN}{DN}=\dfrac{BM}{MP}=1,$$所以 $M$ 为 $PB$ 中点． 备注1 问题2 求二面角 $B-PD-A$ 的大小； 答案2 $60^{\circ}$ 解析2 取 $AD$ 中点 $O$，连结 $PO,ON$．<br/>因为 $PA=PD$，$O$ 为 $AD$ 中点，所以$$PO\perp AD.$$又因为平面 $PAD\perp $ 平面 $ABCD$，且平面 $PAD\cap $ 平面 $ABCD=AD$，<br/>所以 $PO\perp$ 平面 $ABCD$，以 $O$ 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：<img src="/static/images/142adb55278a152936b1325fdc52ba81.png" class="img-responsive" /> 则 $D(2,0,0)$，$A(-2,0,0)$，$B(-2,4,0)$，$P\left(0,0,\sqrt 2\right)$．<br/>易知平面 $PDA$ 的法向量为 $\overrightarrow{m}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{PD}=\left(2,0,-\sqrt 2\right)$，$\overrightarrow{PB}=\left(-2,4,-\sqrt 2\right)$．<br/>设平面 $PBD$ 的法向量为 $\overrightarrow n=(x,y,z)$，则$$\begin{cases}\overrightarrow n\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{PB}=0.\end{cases}$$即$$\begin{cases}2x-\sqrt 2 z=0,\\ -2x+4y-\sqrt 2 z=0.\end{cases}$$取 $\overrightarrow n=\left(1,1,\sqrt 2\right)$，所以$$\cos\left<\overrightarrow m,\overrightarrow n\right>=\dfrac{1}{1\cdot \sqrt {1+1+2}}=\dfrac 12,$$由图可知所求二面角为锐角，所以二面角 $B-PD-A$ 的大小为 $60^{\circ}$． 备注2 问题3 求直线 $MC$ 与平面 $BDP$ 所成角的正弦值． 答案3 $\dfrac{2\sqrt 6}{9}$ 解析3 因为 $M\left(-1,2,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$，$C(2,4,0)$，所以 $\overrightarrow{MC}=\left(3,1,-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$．<br/>由（2）知平面 $BDP$ 的法向量为 $\overrightarrow n=\left(1,1,\sqrt 2\right)$．<br/>设 $MC$ 与平面 $BDP$ 所成角为 $\theta$，则$$\sin \theta=\left|\cos\left<\overrightarrow{MC},\overrightarrow n\right>\right|=\left|\dfrac{3+2-1}{\sqrt{9+4+\dfrac 12}\cdot \sqrt{1+1+2}}\right|=\dfrac{2\sqrt 6}{9}.$$ 备注3