如图，在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AA_1\perp \mbox{平面}ABCD$，且 $AB=AD=2$，$AA_1=\sqrt 3$，$\angle BAD=120^{\circ}$．
【难度】
【出处】
2017年高考江苏卷
【标注】
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求异面直线 $A_1B$ 与 $AC_1$ 所成角的余弦值；标注答案$\dfrac 17$解析在平面 $ABCD$ 内，过点 $A$ 作 $AE\perp AD$，交 $BC$ 于点 $E$．
因为 $AA_1 \perp \text{平面}ABCD$，所以 $AA_1 \perp AE$，$AA_1\perp AD$．
如图，以 $\left\{\overrightarrow {AE},\overrightarrow {AD},\overrightarrow {AA_1}\right\}$ 为正交基底，建立空间直角坐标系$A-xyz$．
因为 $AB=AD=2$，$AA_1=\sqrt 3$，$\angle BAD=120^{\circ}$，则 $A(0,0,0)$，$B(\sqrt 3,-1,0)$，$D(0,2,0)$，$E(\sqrt 3,0,0)$，$A_1(0,0,\sqrt 3)$，$C_1(\sqrt 3,1,\sqrt 3)$．所以 $\overrightarrow {A_1B}=(\sqrt 3,-1,-\sqrt 3)$，$\overrightarrow {AC_1}=(\sqrt 3, 1, \sqrt 3)$，则$$\cos\left \langle \overrightarrow {A_1B},\overrightarrow {AC_1}\right\rangle =\dfrac {\overrightarrow {A_1B}\cdot \overrightarrow {AC_1}}{\left|\overrightarrow {A_1B}\right| \left|\overrightarrow {AC_1}\right|}=-\dfrac 17.$$因此异面直线 $A_1B$ 与 $AC_1$ 所成角的余弦值为 $\dfrac 17$．
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求二面角 $B-A_1D-A$ 的正弦值．标注答案$\dfrac {\sqrt7}{4}$解析平面 $A_1DA$ 的一个法向量为 $\overrightarrow {AE}=(\sqrt 3,0,0)$．
设 $\overrightarrow m=(x,y,z)$ 为平面 $BA_1D$ 的一个法向量，又 $\overrightarrow {A_1B}=(\sqrt 3,-1,-\sqrt 3)$，$\overrightarrow {BD}=(\sqrt 3, 3,0)$，
则$$\begin{cases}\overrightarrow m\cdot \overrightarrow {A_1B}=0,\\ \overrightarrow m\cdot \overrightarrow { BD}=0, \end{cases}$$即$$\begin{cases} \sqrt 3x -y -\sqrt 3z=0,\\ -\sqrt 3x + 3y=0. \end{cases}$$不妨取 $x=3$，则 $y=\sqrt 3$，$z=2$．此时 $\overrightarrow m=(3,\sqrt 3,2)$，从而$$\cos \langle \overrightarrow {AE},\overrightarrow {m}\rangle \overset{[a]}=\dfrac {\overrightarrow {AE}\cdot \overrightarrow {m}}{\left|\overrightarrow {AE}\right| \left|\overrightarrow {m}\right|}=-\dfrac 34.$$（推导中用到：[a]）
设二面角 $B-A_1D-A$ 的大小为 $\theta$，则 $|\cos \theta|=\dfrac 34$，因为 $ \theta \in [0,\pi]$，所以 $\sin \theta=\sqrt {1-\cos ^2\theta}=\dfrac {\sqrt7}{4}$．
因此二面角$B-A_1D-A$ 的正弦值为 $\dfrac {\sqrt7}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
