图 $1$ 是由矩形 $ADEB,Rt\triangle ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1,BE=BF=2,\angle FBC=60^\circ$，将其沿 $AB,BC$ 折起来使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连结 $DG$，如下图．
（1）证明：图 $2$ 中的 $A,C,G,D$ 四点共面，且平面 $ABC\perp$ 平面 $BCGE$；
（2）求图 $2$ 中的四边形 $ACGD$ 的面积．
（1）证明：图 $2$ 中的 $A,C,G,D$ 四点共面，且平面 $ABC\perp$ 平面 $BCGE$；
（2）求图 $2$ 中的四边形 $ACGD$ 的面积．
【难度】
【出处】
2019年高考全国III卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由已知得 $AD\parallel BE,CG\parallel BE$，所以 $AD\parallel CG$，故 $AD,CG$ 确定一个平面，从而 $A,C,G,D$ 四点共面．
由已知得 $AB\perp BE,AB\perp BC$，故 $AB\perp $ 平面 $BCGE$．
又因为 $AB\subset $ 平面 $ABC$，所以平面 $ABC\perp $ 平面 $BCGE$．
（2）取 $CG$ 的中点 $M$，连结 $EM,DM$．
因为 $AB\parallel DE$，$AB\perp $ 平面 $BCGE$，所以 $DE\perp $ 平面 $BCGE$，故 $DE\perp CG$．
由已知，四边形 $BCGE$ 的菱形，且 $\angle EBC=60^\circ$ 得 $EM\perp CG$，故 $CG\perp$ 平面 $DEM$．
因此 $DM\perp CG$．
在 $Rt\triangle DEM$ 中，$DE=1,EM=\sqrt{3}$，故 $DM=2$．
所以四边形 $ACGD$ 的面积为 $4$．
由已知得 $AB\perp BE,AB\perp BC$，故 $AB\perp $ 平面 $BCGE$．
又因为 $AB\subset $ 平面 $ABC$，所以平面 $ABC\perp $ 平面 $BCGE$．
（2）取 $CG$ 的中点 $M$，连结 $EM,DM$．
因为 $AB\parallel DE$，$AB\perp $ 平面 $BCGE$，所以 $DE\perp $ 平面 $BCGE$，故 $DE\perp CG$．
由已知，四边形 $BCGE$ 的菱形，且 $\angle EBC=60^\circ$ 得 $EM\perp CG$，故 $CG\perp$ 平面 $DEM$．
因此 $DM\perp CG$．
在 $Rt\triangle DEM$ 中，$DE=1,EM=\sqrt{3}$，故 $DM=2$．
所以四边形 $ACGD$ 的面积为 $4$．
答案
解析
备注
