如图，长方体 $ABCD–A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $AA_1$ 上，$BE\perp EC_1$．
（1）证明：$BE\perp $ 平面 $EB_1C_1$；
（2）若 $AE=A_1E,AB=3$，求四棱锥 $E-BB_1C_1C$ 的体积．
（1）证明：$BE\perp $ 平面 $EB_1C_1$；
（2）若 $AE=A_1E,AB=3$，求四棱锥 $E-BB_1C_1C$ 的体积．
【难度】
【出处】
2019年高考全国II卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由已知得，$B_1C_1\perp$ 平面 $ABB_1A_1$，$BE\subset$ 平面 $ABB_1A_1$，故 $B_1C_1\perp BE$．
又 $BE\perp EC_1$，所以 $BE\perp $ 平面 $EB_1C_1$．
（2）由（1）知 $\angle BEB_1=90^\circ$．由题设知 $Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle A_1B_1E$，所以 $\angle AEB=45^\circ$，
故 $AE=AB=3,AA_1=2AE=6$．
所以，四棱锥 $E-BB_1C_1C$ 的体积 $V=\dfrac{1}{3}\times 3\times 6\times 3=18$．
又 $BE\perp EC_1$，所以 $BE\perp $ 平面 $EB_1C_1$．
（2）由（1）知 $\angle BEB_1=90^\circ$．由题设知 $Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle A_1B_1E$，所以 $\angle AEB=45^\circ$，
故 $AE=AB=3,AA_1=2AE=6$．
所以，四棱锥 $E-BB_1C_1C$ 的体积 $V=\dfrac{1}{3}\times 3\times 6\times 3=18$．
答案
解析
备注
