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如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$D,E$ 分别为 $BC,AC$ 的中点，$AB=BC$．求证：
（1）$A_1B_1\parallel$ 平面 $DEC_1$；
（2）$BE\perp C_1E$．
【难度】
【出处】
2019年高考江苏卷
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    多面体
    >
    棱柱
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    空间的平行关系
    >
    线面平行
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    空间的垂直关系
    >
    线面垂直
  • 题型
    >
    立体几何
【答案】
略
【解析】
（1）因为 $D,E$ 分别为 $BC,AC$ 的中点，所以 $ED\parallel AB$．
在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AB\parallel A_1B_1$，所以 $A_1B_1\parallel ED$．
又因为 $ED\subset $ 平面 $DEC_1$，$A_1B_1\not\subset $ 平面 $DEC_1$，所以 $A_1B_1\parallel $ 平面 $DEC_1$．
（2）因为 $AB=BC$，$E$ 为 $AC$ 的中点，所以 $BE\perp AC$．
因为三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 是直棱柱，所以 $CC_1\perp $ 平面 $ABC$．
又因为 $BE\subset$ 平面 $ABC$，所以 $CC_1\perp BE$．
因为 $C_1C\subset$ 平面 $A_1ACC_1$，$AC\subset$ 平面 $A_1ACC_1,C_1C\bigcap AC=C$，
所以 $BE\perp $ 平面 $A_1ACC_1$．
因为 $C_1E\subset $ 平面 $A_1ACC_1$，所以 $BE\perp C_1E$．
答案 解析 备注
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