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下图是由矩形 $ADEB,Rt\triangle ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1,BE=BF=2,\angle FBC=60^\circ$，将其沿 $AB,BC$ 折起来使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连结 $DG$，如下图．
（1）证明：上图中的 $A,C,G,D$ 四点共面，且平面 $ABC\perp$ 平面 $BCGE$；
（2）求上图中的二面角 $B-CG-A$ 的大小．
【难度】
【出处】
2019年高考全国III卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    点线面的位置关系
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    空间的垂直关系
    >
    线面垂直
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    空间的垂直关系
    >
    面面垂直
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
    >
    二面角
  • 题型
    >
    立体几何
【答案】
略
【解析】
（1）由已知得 $AD\parallel BE,CG\parallel BE$，所以 $AD\parallel CG$，故 $AD,CG$ 确定一个平面，从而 $A,C,G,D$ 四点共面．
由已知得 $AB\perp BE,AB\perp BC$，故 $AB\perp $ 平面 $BCGE$．
又因为 $AB\subset $ 平面 $ABC$，所以平面 $ABC\perp $ 平面 $BCGE$．
（2）作 $EH\perp BC$，垂足为 $H$．因为 $EH\subset$ 平面 $BCGE$，平面 $BCGE\perp $ 平面 $ABC$，所以 $EH\perp $ 平面 $ABC$．
由已知，菱形 $BCGE$ 的边长为 $2$，$\angle EBC=60^\circ$，可求得 $BH=1,EH=\sqrt{3}$．
以 $H$ 为坐标原点，$\overrightarrow {HC}$ 的方向为 $x$ 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 $H–xyz$，则 $A(–1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,\sqrt{3}),\overrightarrow{CG}=(1,0,\sqrt{3}),\overrightarrow{AC}=(2,–1,0)$．
设平面 $ACGD$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，则
$\begin{cases}\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{n}=0\\\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{n}=0\end{cases}$ 即 $\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，则 $\begin{cases}x+\sqrt{3}z=0\\2x-y=0\end{cases}$
所以可取 $\overrightarrow{n}=(3,6,-\sqrt{3})$．
又平面 $BCGE$ 的法向量可取为 $\overrightarrow{m}=(0,1,0)$，所以 $\cos\langle\overrightarrow{n},\overrightarrow{m} \rangle=\dfrac{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
因此二面角 $B–CG–A$ 的大小为 $30^\circ$．
答案 解析 备注
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