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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26532 5927d15d50ce840007247a94 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right)$ 的图像在 $[a,b]$ 上连续不断，定义：\[\begin{split}&{f_1}\left(x\right) = \min \left\{ f\left(t\right)\left|\right.a \leqslant t \leqslant x\right\} \left(x \in \left[a,b\right]\right),\\&{f_2}\left(x\right) = \max \left\{ f\left(t\right)\left|\right.a \leqslant t \leqslant x\right\} \left(x \in \left[a,b\right]\right).\end{split}\]其中 $\min \left\{ f\left(x\right)\left|\right.x \in D\right)$ 表示函数 $f\left(x\right)$ 在 $D$ 上的最小值，$\max \left\{ f\left(x\right)\left|\right.x \in D\right)$ 表示函数 $f\left(x\right)$ 在 $D$ 上的最大值．若存在最小正整数 $k$，使得 ${f_2}\left(x\right) - {f_1}\left(x\right) \leqslant k\left(x - a\right)$ 对任意的 $x \in \left[a,b\right]$ 成立，则称函数 $f\left(x\right)$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的" $k$ 阶收缩函数"． 2022-04-17 20:53:55
23927 59097d3639f91d0008f04ff7 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $y=\dfrac 1x$ 在第一象限的部分上是否存在两点 $A,B$，使得 $\triangle AOB$ 为等腰直角三角形？ 2022-04-17 20:00:32
22917 59267da7ee79c2000759a9e8 高中 解答题 高中习题 一个函数 $f(x)$，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 $a,b,c$ 都在 $f(x)$ 的定义域内，就有 $f(a),f(b),f(c)$ 也是某个三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为“保三角形函数”． 2022-04-17 20:49:22
21882 590bd7a56cddca00092f711e 高中 解答题 高中习题 已知 $x$ 为实数，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[1.2]=1$，$[-1.2]=-2$，$[1]=1$．对于函数 $f(x)$，若存在 $m\in\mathbb R\land m\notin\mathbb Z$，使得 $f(m)=f([m])$，则称函数 $f(x)$ 是 $\Omega$ 函数． 2022-04-17 20:04:13
14064 590c1a63d42ca700077f64f4 高中 填空题 高中习题 若函数 $f(x),g(x)$ 满足 $\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x){{\rm d}}x=0$，则称 $f(x),g(x)$ 为区间 $[-1,1]$ 上的一组正交函数．给出三组函数：
① $f(x)=\sin\dfrac 12x,g(x)=\cos\dfrac 12x$；
② $f(x)=x+1,g(x)=x-1$；
③ $f(x)=x,g(x)=x^2$．
其中为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的有 ．		 2022-04-16 22:11:55
14055 590ad1536cddca0008610eea 高中 填空题 高中习题 直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点．如果函数 $f(x)$ 的图象恰好通过 $k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）个格点，则称 $f(x)$ 为 $k$ 阶格点函数．下列函数：
① $f(x)=\sin x$；
② $f(x)=\pi (x-1)^2+3$；
③ $f(x)=\left(\dfrac 13\right)^x$；
④ $f(x)={\log_{0.6}}x$．
其中是 $1$ 阶格点函数的有 ．		 2022-04-16 22:06:55
11090 59097e9f39f91d0008f05005 高中 填空题 高考真题 设 $f\left( x \right)$ 是定义在 $\left({0, + \infty}\right)$ 上的函数，且 $f\left( x \right) > 0$，对任意 $a > 0,b > 0$，若经过点 $\left({a,f\left( a \right)}\right)$，$\left({b,-f\left( b \right)}\right)$ 的直线与 $x$ 轴的交点为 $\left({c,0}\right)$，则称 $c$ 为 $a,b$ 关于函数 $f\left( x \right)$ 的平均数，记为 ${M_f}\left({a,b}\right)$，例如，当 $f\left( x \right) = 1 \left(x > 0 \right)$ 时，可得 ${M_f}\left({a,b}\right) =c= \dfrac{a + b}{2}$，即 ${M_f}\left({a,b}\right)$ 为 $a$，$b$ 的算术平均数当 $f\left( x \right) =$   $\left(x > 0\right)$ 时，${M_f}\left({a,b}\right)$ 为 $a,b$ 的几何平均数；当 $f\left( x \right) =$   $\left(x > 0\right)$ 时，${M_f}\left({a,b}\right)$ 为 $a,b$ 的调和平均数 $\dfrac{2ab}{a + b}$． 2022-04-16 22:14:24
11065 590a85786cddca000a081870 高中 填空题 高考真题 已知函数 $y = f\left(x\right)\left(x \in{\mathbb{R}}\right)$．对函数 $y = g\left(x\right)\left(x \in I\right)$，定义 $g\left(x\right)$ 关于 $f\left(x\right)$ 的"对称函数"为函数 $y = h\left(x\right)\left(x \in I\right)$，$y = h\left(x\right)$ 满足：对任意 $x \in I$，两个点 $\left(x,h\left(x\right)\right)$，$\left(x,g\left(x\right)\right)$ 关于点 $\left(x,f\left(x\right)\right)$ 对称．若 $h\left(x\right)$ 是 $g\left(x\right) = \sqrt{4 -{x^2}}$ 关于 $f\left(x\right) = 3x + b$ 的"对称函数"，且 $h\left(x\right) > g\left(x\right)$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:02:24
10906 59267c22ee79c2000a59dc32 高中 填空题 高中习题 如果对任意一个三角形，只要它的三边长 $a,b,c$ 都在函数 $f(x)$ 的定义域内，就有 $f(a),f(b),f(c)$ 也是某个三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为“Л 型函数”．则下列函数：
① $f(x)=\sqrt x$；② $g(x)=\sin x$，$x \in (0,\pi)$；② $h(x)=\ln x $，$x \in [2,+\infty)$．
是“Л型函数”的序号为  ．		 2022-04-16 22:34:22
9573 59098b4339f91d000a7e4597 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)={\rm e}^x+x$，对于曲线 $y=f(x)$ 上横坐标成等差数列的三个点 $A,B,C$，给出以下判断：
① $\triangle ABC$ 一定是钝角三角形；
② $\triangle ABC$ 可能是直角三角形；
③ $\triangle ABC$ 可能是等腰三角形；
④ $\triangle ABC$ 不可能是等腰三角形．
其中正确的判断是 ．		 2022-04-16 22:21:10
9571 59098d1e38b6b4000adaa227 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $D$，若对于任意 $x_1,x_2\in D$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 为在 $D$ 上的非减函数．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是非减函数，且满足以下三个条件：
① $f(0)=0$；
② $f\left(\dfrac x5\right)=\dfrac 12f(x)$；
③ $f(1-x)=1-f(x)$．
则 $f\left(\dfrac 45\right)=$  ，$f\left(\dfrac{1}{12}\right)=$  ，$f\left(\dfrac{1}{2016}\right)=$  ．		 2022-04-16 22:19:10
9562 590ac01e6cddca00092f6f8a 高中 填空题 高中习题 如果对任意一个三角形，只要它的三边长 $a,b,c$ 都在函数 $f(x)$ 的定义域内，就有 $f(a),f(b),f(c)$ 也是某个三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为保三角函数，则下列函数中是保三角函数的是
① $f(x)=\sqrt x$；
② $g(x)=\sin x$，$x\in (0,\pi)$；
③ $h(x)=\ln x$，$x\in [2,+\infty)$．		 2022-04-16 22:14:10
9559 590ad10a6cddca00078f3999 高中 填空题 高中习题 若对于定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$，其函数图象是连续不断的，且存在常数 $\lambda$（$\lambda\in\mathbb R$）使得 $f(x+\lambda)+\lambda f(x)=0$ 对于任意实数 $x$ 都成立，则称 $f(x)$ 是一个 $\lambda-$ 伴随函数，有下列关于 $\lambda-$ 伴随函数的结论：
① $f(x)=0$ 是常数函数中唯一一个 $\lambda-$ 伴随函数；
② $f(x)=x$ 不是 $\lambda-$ 伴随函数；
③ $f(x)=x^2$ 是一个 $\lambda-$ 伴随函数；
④ $\dfrac 12-$ 伴随函数至少有一个零点．
其中正确命题的序号是 ．		 2022-04-16 22:12:10
8611 5908248d060a05000bf29154 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 的定义域和值域都为 $[0,1]$，$f_1(x)=f(x)$，$f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)$，称方程 $f_n(x)=x$ 的解为 $f(x)$ 的 $n$ 阶周期点．函数 $f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant x\leqslant\dfrac 12,\\2-2x,&\dfrac 12<x\leqslant 1\end{cases}$ 的 $n$ 阶周期点的个数为 ． 2022-04-16 22:34:01
8554 5909325c060a05000970b2b0 高中 填空题 高中习题 对函数 $f(x)$，若对任意 $a,b,c\in\mathbb R$，$f(a),f(b),f(c)$ 为某个三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为"保三角函数"，已知函数 $f(x)=\dfrac{2^x+m}{2^x+2}$（$m>0$）是"保三角函数"，则实数 $m$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:00:01
8547 59094efe060a050008cff4e3 高中 填空题 高中习题 函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上有定义，若对任意 $x_1,x_2\in\left[a,b\right]$，有 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)\leqslant\dfrac 12\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right]$，则称 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上具有性质 $P$．设 $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上具有性质 $P$，现给出如下命题：
① $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上的图象是连续不断的；
② $f\left(x^2\right)$ 在 $\left[1,\sqrt 3\right]$ 上具有性质 $P$；
③ 若 $f\left(x\right)$ 在 $x=2$ 处取得最大值 $1$，则 $f\left(x\right)=1$，$x\in\left[1,3\right]$；
④ 对任意 $x_1,x_2,x_3,x_4\in\left[1,3\right]$，有$$f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}4\right)\leqslant \dfrac 14\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)\right].$$其中真命题的序号为 ．		 2022-04-16 22:55:00
7926 590ae7686cddca00092f70c9 高中 填空题 高中习题 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在非零实数 $l$ 使得对于任意 $x\in M$（$M\subseteq D$），有 $x+l\in D$，且 $f(x+l)\geqslant f(x)$，则称 $f(x)$ 为 $M$ 上的 $l$ 高调函数．现给出下列命题：
① 函数 $f(x)=\left(\dfrac 12\right)^x$ 为 $\mathbb R$ 上的 $1$ 高调函数；
② 函数 $f(x)=\sin 2x$ 为 $\mathbb R$ 上的 $\pi $ 高调函数；
③ 如果定义域为 $\left[-1,+\infty\right)$ 的函数 $f(x)=x^2$ 为 $\left[-1,+\infty\right)$ 上的 $m$ 高调函数，那么实数 $m$ 的取值范围是 $\left[2,+\infty\right)$．
其中正确的命题是 ．		 2022-04-16 21:16:55
7877 590c2ebd857b42000aca383c 高中 填空题 高中习题 如果对于任意一个三角形，只要它的三边长 $a,b,c$ 都在函数 $f(x)$ 的定义域内，就有 $f(a),f(b),f(c)$ 也是某个三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为"保三角形函数"．
① $f(x)=\sqrt x$；
② $g(x)=\sin x,x\in(0,\pi)$；
③ $h(x)=\ln x,x\in[2,+\infty)$．
是"保三角形函数"的序号为 ．		 2022-04-16 21:51:54
7746 59266e8bee79c2000a59dc07 高中 填空题 高中习题 在实数集 $ {\mathbb{R}} $ 中定义一种运算“$ * $”，具有下列性质：
① 对任意 $a ,b\in {\mathbb{R}} $，$a *b=b* a$；
② 对任意 $a \in {\mathbb{R}}$，$a *0= a$；
③ 对任意 $a ,b,c\in {\mathbb{R}}$，$\left( a *b\right)*c=c*\left( a b\right)+\left( a *c\right)+\left(b*c\right)-2c$．
则 $ 0*2= $  ；函数 $f\left(x\right) = x* \dfrac{1}{x}\left(x>0\right)$ 的最小值为 ．		 2022-04-16 21:39:53
7734 592678d6ee79c2000874a12a 高中 填空题 高中习题 函数 $f\left( x \right)$ 的定义域为 $A$，若 ${x_1} , {x_2} \in A$ 且 $f\left( {x_1} \right) = f\left( {x_2} \right)$ 时总有 ${x_1} = {x_2}$，则称 $f\left( x \right)$ 为单函数．例如，函数 $f\left( x \right) = 2x + 1\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$ 是单函数．下列命题：
① 函数 $f\left( x \right) = {x^2}\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$ 是单函数；
② 若 $f\left( x \right)$ 为单函数，${x_1} , {x_2} \in A$ 且 ${x_1} \ne {x_2}$，则 $f\left( {x_1} \right) \ne f\left( {x_2} \right)$；
③ 若 $f:A$ $ \to $ $B$ 为单函数，则对于任意 $b \in B$，它至多有一个原象；
④ 函数 $f\left( x \right)$ 在某区间上具有单调性，则 $f\left( x \right)$ 一定是单函数．
其中的真命题是  ．（写出所有真命题的编号）		 2022-04-16 21:33:53
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