在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $y=\dfrac 1x$ 在第一象限的部分上是否存在两点 $A,B$，使得 $\triangle AOB$ 为等腰直角三角形？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在
【解析】
固定 $\angle AOB=45^\circ$，研究 $\dfrac{OA}{OB}$ 的变化即可，如图：
当点 $B$ 的横坐标从 $1$ 逐渐减小时，$\dfrac {OA}{OB}$ 的值从 $+\infty$ 变到 $0$，且单调变化，所以存在两个时刻，分别满足 $\dfrac {OA}{OB}=\dfrac {\sqrt 2}2$ 与 $\dfrac {OA}{OB}=\sqrt 2$，此时都有 $\triangle AOB$ 为等腰直角三角形．
当点 $B$ 的横坐标从 $1$ 逐渐减小时，$\dfrac {OA}{OB}$ 的值从 $+\infty$ 变到 $0$，且单调变化，所以存在两个时刻，分别满足 $\dfrac {OA}{OB}=\dfrac {\sqrt 2}2$ 与 $\dfrac {OA}{OB}=\sqrt 2$，此时都有 $\triangle AOB$ 为等腰直角三角形．
答案
解析
备注
