题目 已知函数 $f\left(x\right)$ 的图像在 $[a,b]$ 上连续不断，定义：\[\begin{split}&{f_1}\left(x\right) = \min \left\{ f\left(t\right)\left|\right.a \leqslant t \leqslant x\right\} \left(x \in \left[a,b\right]\right),\\&{f_2}\left(x\right) = \max \left\{ f\left(t\right)\left|\right.a \leqslant t \leqslant x\right\} \left(x \in \left[a,b\right]\right).\end{split}\]其中 $\min \left\{ f\left(x\right)\left|\right.x \in D\right)$ 表示函数 $f\left(x\right)$ 在 $D$ 上的最小值，$\max \left\{ f\left(x\right)\left|\right.x \in D\right)$ 表示函数 $f\left(x\right)$ 在 $D$ 上的最大值．若存在最小正整数 $k$，使得 ${f_2}\left(x\right) - {f_1}\left(x\right) \leqslant k\left(x - a\right)$ 对任意的 $x \in \left[a,b\right]$ 成立，则称函数 $f\left(x\right)$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的" $k$ 阶收缩函数"． 问题1 若 $f\left(x\right) = \cos x,x \in \left[0,\pi \right]$，试写出 ${f_1}\left(x\right)$，${f_2}\left(x\right)$ 的表达式； 答案1 ${f_1}(x) = \cos x,x \in [0,\pi ]$，${f_2}(x) = 1,x \in [0,\pi ]$ 解析1 略 备注1 问题2 已知函数 $f\left(x\right) = {x^2},x \in \left[ - 1,4\right],$ 试判断 $f\left(x\right)$ 是否为 $[-1,4]$ 上的" $k$ 阶收缩函数"，如果是，求出对应的 $k$，如果不是，请说明理由； 答案2 是，$k=4$ 解析2 因为 ${f_1}(x) = {\begin{cases}{x^2},&x \in [ - 1,0) \\ 0,&x \in [0,4] \end{cases}}$，${f_2}(x) = {\begin{cases}1,&x \in [ - 1,1) \\{x^{^2}},&x \in [1,4] \end{cases}}$，所以\[{f_2}(x) - {f_1}(x) = {\begin{cases}1 - {x^2},&x \in [ - 1,0) \\1,&x\in [0,1) \\{x^2}, &x \in [1,4] \end{cases}}\]如图，$f(x)$ 是 $[-1,4]$ 上的" $4$ 阶收缩函数"．<img src="/static/images/de17f2cbf30f941dd1086dbe67acf430.png" class="img-responsive" /> 备注2 问题3 已知 $b > 0$，函数 $f\left(x\right) = - {x^3} + 3{x^2},$ 是 $[0,b]$ 上的 $2$ 阶收缩函数，求 $b$ 的取值范围． 答案3 $\left(\dfrac {3-\sqrt 5}{2},1\right]$ 解析3 因为 $f_{1}(x)=\begin{cases}0,&0\leqslant x\leqslant 3\\ -x^{3}+3x^{2},&x>3\end{cases}$，$f_{2}(x)=\begin{cases}-x^{3}+3x^{2},&0\leqslant x\leqslant 2\\ 4,&x>2\end{cases}$，所以\[f_{2}(x)-f_{1}(x)=\begin{cases}-x^{3}+3x^{2},&0\leqslant x\leqslant 2\\ 4,&2<x\leqslant 3\\ 4+x^{3}-3x^{2},&x>3\end{cases}.\]如图，$\dfrac{3-\sqrt 5}{2}<b\leqslant 1$．<img src="/static/images/79ffcb832f9e45a65b1dcc596e11e958.png" class="img-responsive" /> 备注3