若函数 $f(x),g(x)$ 满足 $\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x){{\rm d}}x=0$，则称 $f(x),g(x)$ 为区间 $[-1,1]$ 上的一组正交函数．给出三组函数：
① $f(x)=\sin\dfrac 12x,g(x)=\cos\dfrac 12x$；
② $f(x)=x+1,g(x)=x-1$；
③ $f(x)=x,g(x)=x^2$．
其中为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的有 ．
① $f(x)=\sin\dfrac 12x,g(x)=\cos\dfrac 12x$；
② $f(x)=x+1,g(x)=x-1$；
③ $f(x)=x,g(x)=x^2$．
其中为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的有
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
①③
【解析】
根据题意，对非零连续函数 $f(x),g(x)$，有
引理一 $f(x)\cdot g(x)$ 是奇函数是 $f(x),g(x)$ 为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的充分条件；
引理二 $f(x)\cdot g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有正函数值也有负函数值是 $f(x),g(x)$ 为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的必要条件．
根据引理一，①③ 是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数；根据引理二，② 不是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数．
根据引理一，①③ 是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数；根据引理二，② 不是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数．
题目
答案
解析
备注
