已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $D$，若对于任意 $x_1,x_2\in D$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 为在 $D$ 上的非减函数．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是非减函数，且满足以下三个条件：
① $f(0)=0$；
② $f\left(\dfrac x5\right)=\dfrac 12f(x)$；
③ $f(1-x)=1-f(x)$．
则 $f\left(\dfrac 45\right)=$ ，$f\left(\dfrac{1}{12}\right)=$ ，$f\left(\dfrac{1}{2016}\right)=$ ．
① $f(0)=0$；
② $f\left(\dfrac x5\right)=\dfrac 12f(x)$；
③ $f(1-x)=1-f(x)$．
则 $f\left(\dfrac 45\right)=$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$，$\dfrac 14$，$\dfrac{1}{32}$
【解析】
由于 $f(0)=0$，$f(1)=1$，$f\left(\dfrac 15\right)=f\left(\dfrac 45\right)=\dfrac 12$，因此 $f(x)=\dfrac 12$，$x\in\left[\dfrac 15,\dfrac 45\right]$．进而可得 $f\left(\dfrac{x}{5^n}\right)=\dfrac{1}{2^n}f(x)$，因此有$$f(x)=\dfrac{1}{2^n},\dfrac{1}{5^n}\leqslant x\leqslant \dfrac{4}{5^n}.$$综上所述，有 $f\left(\dfrac 45\right)=\dfrac 12$，$f\left(\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac 14$，$f\left(\dfrac{1}{2016}\right)=\dfrac{1}{32}$．
题目
答案
解析
备注
