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已知函数 $f(x)$ 的定义域和值域都为 $[0,1]$，$f_1(x)=f(x)$，$f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)$，称方程 $f_n(x)=x$ 的解为 $f(x)$ 的 $n$ 阶周期点．函数 $f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant x\leqslant\dfrac 12,\\2-2x,&\dfrac 12<x\leqslant 1\end{cases}$ 的 $n$ 阶周期点的个数为 ．
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    分段函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    迭代函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
  • 题型
    >
    函数
    >
    函数创新题
【答案】
$2^n$
【解析】
注意从映射的角度分析函数$$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant x\leqslant\dfrac 12,\\2-2x,&\dfrac 12<x\leqslant 1,\end{cases}$$也即$$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant 2x\leqslant 1,\\2-2x,&1<2x\leqslant 2,\end{cases}$$这就意味着函数 $f(x)$ 实际上是以下一系列的操作：首先将参与运算的 $x$ 扩大到原来的两倍，然后不超过 $1$ 的部分保持不变，超过 $1$ 的部分作关于 $1$（因为和为 $2$）的对称，如图．考虑函数图象和直线 $y=x$ 的交点，易得函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶周期点的个数为 $2^n$ 个．
题目 答案 解析 备注
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