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$f(x)=x^2-\dfrac 13x$ 是 $\Omega$ 函数，$g(x)=\sin\pi x$ 不是 $\Omega$ 函数

题中给出了取整函数对单个实数的影响，让我们研究它对函数的影响．事实上．它起到对函数取样的作用．比如，在每天的早上8点钟测量气温作为当天 $24$ 小时的气温，这种做法就可以认为是对气温的变化曲线进行抽样．
在本题中，我们考虑用 $k$ 处的函数值作为区间 $[k,k+1)$（$k\in\mathbb{Z}$）上的取样，得到一个函数的抽样函数．例如，正比例函数 $f(x)=x$ 的抽样，如图1：三次函数 $f(x) =\dfrac 14x^3-2x^2+x+8$ 的抽样，如图2：$f(x)=\sin x$ 的抽样，如图3：根据对抽样的理解，就可以得到 $\Omega$ 函数的判断法则：
如果一个函数和它的抽样函数有除抽样点外的公共点，那么称之为 $\Omega$ 函数．而想要成为 $\Omega$ 函数，那么需要在某个取样周期内完成“调头”（可以借助“最小转弯半径”的概念来理解）．
$(1)$ 不难发现，一个函数在单调区间上是不可能和它的抽样函数有公共点的．因此对于函数 $f(x)=x^2-\dfrac 13x$，只需要考虑其单调性发生改变，即对称轴附近的抽样区间 $[0,1)$ 即可得到结论．如图4，函数 $f(x)=x^2-\dfrac 13x$ 是 $\Omega$ 函数，因为 $f(1/3)=f([1/3])=0$．
对函数 $g(x)=\sin \pi x$，虽然有很多单调性发生改变的地方，但是每次“调头”都需要长度为 $1$ 的区间，由于周期的限制，不是 $\Omega$ 函数，如图5．

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$T$ 的最小值为 $1$

$T$ 的最小值为 $1$，证明如下．
第 $(1)$ 小题提示我们构造出 $T=1$ 的例子$$f(x)=\sin{\pi x},$$因此只需要证明当 $0<T<1$ 时，函数 $f(x)$ 必然为 $\Omega$ 函数．
事实上，一方面 $[T]=0$，于是 $f([T])=f(0)$；另一方面函数 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，于是 $f(T)=f(0)$．因此$$f([T])=f(T),$$函数 $f(x)$ 为 $\Omega$ 函数．

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$\left\{a\left|a\neq n^2\land a\neq n(n+1),a\in\mathbb R^+,n\in\mathbb N^{\ast}\right.\right\}$

从单调性入手分析．
情形一当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 与 $(0,+\infty)$ 上分别单调递增．因为 $x$ 与 $[x]$ 必在同一个单调区间上，所以对任意的 $x\in\mathbb R\land x\notin \mathbb Z\land x\notin (0,1)$，都有 $x>[x]$，因此$$f(x)>f([x]),$$函数 $f(x)$ 不是 $\Omega$ 函数．
情形二当 $a>0$ 时，若 $\sqrt a$ 为正整数，那么由于在每个取样区间 $[n,n+1)$（$n\in\mathbb Z$）上，函数 $f(x)$ 均为单调函数，因此函数 $f(x)$ 不是 $\Omega$ 函数．当 $\sqrt a$ 不为正整数时，设 $k^2<a<(k+1)^2$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）．因此只需要也必须在取样区间 $[-k-1,-k)$ 或 $[k,k+1)$ 内完成“调头”（如图6就是在 $[-k-1,-k)$ 上完成“掉头”的例子），也即$$f(-k)<f(-k-1)\lor f\left(k+1\right)>f\left(k\right) ,$$即$$-k+\dfrac{a}{-k}<-k-1+\dfrac{a}{-k-1}\lor k+1+\dfrac{a}{k+1}>k+\dfrac{a}{k},$$也即$$k+\dfrac{a}{k}\neq k+1+\dfrac{a}{k+1},$$整理得$$a\neq k(k+1),$$因此函数 $f(x)$ 当 $a\neq k(k+1)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）时是 $\Omega$ 函数．综上，$a$ 的取值范围是 $\left\{a\left|a\neq n^2\land a\neq n(n+1),a\in\mathbb R^+,n\in\mathbb N^{\ast}\right.\right\}$．
情形二的另法当 $a>0$ 时，考虑 $x\in\mathbb R\land x\notin \mathbb Z\land x\notin (0,1)$ 的条件下$$f(x)=f([x]),$$即$$x+\dfrac ax=[x]+\dfrac a{[x]},$$也即$$x-[x]-\dfrac{a\left(x-[x]\right)}{x\cdot [x]}=0,$$两边约去正数 $x-[x]$，得$$a=x\cdot [x].$$接下来只需要求出 $h(x)=x\cdot [x]$，其中 $x\in\mathbb R\land x\notin \mathbb Z$ 的值域，即为 $a$ 的取值范围．
将 $h(x)$ 的定义域划分成无数形如 $(n,n+1)$（$n\in \mathbb Z$）的区间的并，因此只需要求出每一个区间 $P_n=(n,n+1)$（$n\in\mathbb Z^{\ast}$，其中 $\mathbb{Z}^{\ast}$ 表示非零整数）对应的函数值取值范围 $Q_n$，再求它们的并集就可以得到函数 $h(x)$ 的值域，如图7．当 $x\in P_n$ 时，我们有 $[x]=n$，于是$$h(x)=x\cdot [x]=nx,$$因此$$Q_n=\begin{cases} \left(n(n+1),n^2\right),&n<0,\\ \left( n^2,n(n+1)\right),&n>0,\end{cases}$$于是它们的并，也即 $a$ 的取值范围是$$\bigcup_{n\in\mathbb Z^{\ast}}{Q_n}=\left\{a\left|a\neq n^2\land a\neq n(n+1),a\in\mathbb R^+,n\in\mathbb Z\right.\right\},$$即不为整数的平方以及相邻两个整数的乘积的所有正实数．