设 $f\left( x \right)$ 是定义在 $\left({0, + \infty}\right)$ 上的函数，且 $f\left( x \right) > 0$，对任意 $a > 0,b > 0$，若经过点 $\left({a,f\left( a \right)}\right)$，$\left({b,-f\left( b \right)}\right)$ 的直线与 $x$ 轴的交点为 $\left({c,0}\right)$，则称 $c$ 为 $a,b$ 关于函数 $f\left( x \right)$ 的平均数，记为 ${M_f}\left({a,b}\right)$，例如，当 $f\left( x \right) = 1 \left(x > 0 \right)$ 时，可得 ${M_f}\left({a,b}\right) =c= \dfrac{a + b}{2}$，即 ${M_f}\left({a,b}\right)$ 为 $a$，$b$ 的算术平均数当 $f\left( x \right) =$ $\left(x > 0\right)$ 时，${M_f}\left({a,b}\right)$ 为 $a,b$ 的几何平均数；当 $f\left( x \right) =$ $\left(x > 0\right)$ 时，${M_f}\left({a,b}\right)$ 为 $a,b$ 的调和平均数 $\dfrac{2ab}{a + b}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt x$；$x$
【解析】
一方面，有$$\dfrac{f(a)-0}{a-\sqrt{ab}}=\dfrac{0-(-f(b))}{\sqrt{ab}-b},$$即$$\dfrac{f(a)}{\sqrt a}=\dfrac{f(b)}{\sqrt b},$$因此可以取 $f(x)=k\sqrt x$（$k>0$）；
另一方面，有$$\dfrac{f(a)-0}{a-\dfrac{2ab}{a+b}}=\dfrac{0-(-f(b))}{\dfrac{2ab}{a+b}-b},$$即$$\dfrac{f(a)}{a}=\dfrac{f(b)}{b},$$因此可以取 $f(x)=kx$（$k>0$）．
另一方面，有$$\dfrac{f(a)-0}{a-\dfrac{2ab}{a+b}}=\dfrac{0-(-f(b))}{\dfrac{2ab}{a+b}-b},$$即$$\dfrac{f(a)}{a}=\dfrac{f(b)}{b},$$因此可以取 $f(x)=kx$（$k>0$）．
题目
答案
解析
备注
