已知函数 $f(x)={\rm e}^x+x$，对于曲线 $y=f(x)$ 上横坐标成等差数列的三个点 $A,B,C$，给出以下判断：
① $\triangle ABC$ 一定是钝角三角形；
② $\triangle ABC$ 可能是直角三角形；
③ $\triangle ABC$ 可能是等腰三角形；
④ $\triangle ABC$ 不可能是等腰三角形．
其中正确的判断是 ．
① $\triangle ABC$ 一定是钝角三角形；
② $\triangle ABC$ 可能是直角三角形；
③ $\triangle ABC$ 可能是等腰三角形；
④ $\triangle ABC$ 不可能是等腰三角形．
其中正确的判断是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①④
【解析】
如图．设直线 $AB,BC$ 的斜率分别为 $k_{AB},k_{BC}$．
由于函数 $f(x)$ 单调递增，于是 $k_{AB},k_{BC}>0$，因此直线 $AB$ 和直线 $BC$ 的倾斜角之差为锐角，进而 $\angle ABC$ 为钝角，命题 ① 正确，命题 ② 错误．
由于 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，因此如果它是等腰三角形，那么一定有 $AB=BC$，从而$$\sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot |x_A-x_B|=\sqrt{1+k_{BC}^2}\cdot |x_B-x_C|,$$结合 $k_{AB},k_{BC}>0$，有 $k_{AB}=k_{BC}$，进而 $A,B,C$ 三点共线，矛盾．因此 $\triangle ABC$ 不可能为等腰三角形．因此命题 ③ 错误，命题 ④ 正确．
综上所述，正确的判断是 ①④．
由于函数 $f(x)$ 单调递增，于是 $k_{AB},k_{BC}>0$，因此直线 $AB$ 和直线 $BC$ 的倾斜角之差为锐角，进而 $\angle ABC$ 为钝角，命题 ① 正确，命题 ② 错误．由于 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，因此如果它是等腰三角形，那么一定有 $AB=BC$，从而$$\sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot |x_A-x_B|=\sqrt{1+k_{BC}^2}\cdot |x_B-x_C|,$$结合 $k_{AB},k_{BC}>0$，有 $k_{AB}=k_{BC}$，进而 $A,B,C$ 三点共线，矛盾．因此 $\triangle ABC$ 不可能为等腰三角形．因此命题 ③ 错误，命题 ④ 正确．
综上所述，正确的判断是 ①④．
题目
答案
解析
备注
