题目 一个函数 $f(x)$，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 $a,b,c$ 都在 $f(x)$ 的定义域内，就有 $f(a),f(b),f(c)$ 也是某个三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为“保三角形函数”． 问题1 判断 $f_{1}(x)=\sqrt x$，$f_{2}(x)=x$，$f_{3}(x)=x^{2}$ 中，哪些是”保三角形函数“，哪些不是，并说明理由； 答案1 $f_1(x)$、$f_2(x)$ 是“保三角形函数”，$f_3(x)$ 不是“保三角形函数” 解析1 由于 $f_{1}(x)=\sqrt x$，$f_{2}(x)=x$，$f_{3}(x)=x^{2}$ 在 $\mathbb R^{+}$ 上都是单调递增函数，且函数值均为正数．此时“保三角形函数”即满足“$\forall a,b,c>0,a\leqslant b\leqslant c,a+b>c$，都有 $f(a)+f(b)\geqslant f(c)$ 的函数．”<br/>对于 $f_{1}(x)=\sqrt x$，因为 $a+b>c$，所以 $a+b+2\sqrt {ab}>c$，故 $\sqrt a+\sqrt b>\sqrt c$．<br/>对于 $f_{2}(x)=x$，显然 $f_{2}(x)$ 是“保三角形函数”；<br/>对于 $f_{3}(x)=x^{2}$，取 $a=2,b=3,c=4$，则 $f(a)+f(b)<f(c)$，所以 $f_{2}(x)$ 不是“保三角形函数”． 备注1 问题2 如果 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的周期函数，且值域为 $(0,+\infty)$，证明 $g(x)$ 不是”保三角形函数“； 答案2 略 解析2 若 $g(x)$ 是“保三角形函数”，那么 $f(a)+f(a+T)>F(b)$，即 $f(b)<2m$．于是 $\forall x\in[a,a+T]$，$f(x)<2m$．这与 $g(x)$ 的值域为 $(0,+\infty)$ 矛盾．因此 $g(x)$ 不是“保三角形函数”． 备注2 问题3 若函数 $F(x)=\sin x,x\in(0,A)$ 是”保三角形函数“，求 $A$ 的最大值．<br/>（可以利用公式 $\sin x+\sin y=2\sin \dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$．） 答案3 $\dfrac{5\pi}{6}$ 解析3 显然 $A\leqslant \dfrac{5\pi}{6}$．用反证法证明如下：<br/>若 $A>\dfrac{5\pi}{6}$，则可以取 $\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{6}\in(0,A)$，但 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=f\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}=1$ 不能构成三角形；<br/>下面证明当 $A\leqslant \dfrac{5\pi}{6}$ 时，$F(x)$ 是“保三角形函数”．用反证法证明如下．<br/>若 $F(x)$ 不是“保三角形函数”，那么存在 $x,y,z$ 构成三角形，且 $\sin x\leqslant \sin y\leqslant \sin z$，但 $\sin x+\sin y\leqslant \sin z$．<br/>显然 $\sin x,\sin y$ 不能同时位于 $\left(\dfrac{1}{2},1\right]$，否则 $\sin x+\sin y>1\geqslant \sin z$；<br/>于是不妨设 $\sin x\in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]$，所以 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right]$，而 $y\in\left(0,\dfrac{5\pi}{6}\right)$．<br/>因为\[0\leqslant \dfrac{|x-y|}{2}<\dfrac{z}{2}<\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}=2\sin \dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{|x-y|}{2}>2\sin \dfrac{z}{2}\cos\dfrac{z}{2}=\sin z,\]矛盾．因此 $F(x)$ 是“保三角形函数”． 备注3