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函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上有定义，若对任意 $x_1,x_2\in\left[a,b\right]$，有 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)\leqslant\dfrac 12\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right]$，则称 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上具有性质 $P$．设 $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上具有性质 $P$，现给出如下命题：
① $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上的图象是连续不断的；
② $f\left(x^2\right)$ 在 $\left[1,\sqrt 3\right]$ 上具有性质 $P$；
③ 若 $f\left(x\right)$ 在 $x=2$ 处取得最大值 $1$，则 $f\left(x\right)=1$，$x\in\left[1,3\right]$；
④ 对任意 $x_1,x_2,x_3,x_4\in\left[1,3\right]$，有$$f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}4\right)\leqslant \dfrac 14\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)\right].$$其中真命题的序号为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的凹凸性
  • 题型
    >
    函数
    >
    函数创新题
【答案】
③④
【解析】
命题 ① 不正确，反例为 $f(x)=\begin{cases} 2,x=1,\\ 1,x\in (1,3].\end{cases}$；
命题 ② 不正确，反例为 $f(x)=-x^{\frac 14}$，此时 $f(x^2)=x^{\frac 12}$；再比如 $f(x)=-x$ 具有性质 $P$，$f(x^2)=-x^2$ 也不具有性质 $P$；
命题 ③ 正确，对任意 $x\in [0,1]$，都有$$1=f\left(\dfrac{(2-x)+(2+x)}2\right)\leqslant \dfrac 12\left[f(2-x)+f(2+x)\right],$$又 $f(2-x),f(2+x)\leqslant 1$，从而 $f(2-x)=f(2+x)=1$，这就证明了 $f(x)=1$，$x\in [1,3]$；
命题 ④ 正确，这是因为$$\begin{split} f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}4\right)\leqslant &\dfrac 12\left[f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)+f\left(\dfrac{x_3+x_4}2\right)\right]\\\leqslant &\dfrac 14\left[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)\right].\end{split} $$综上所述，所有正确的命题是 ③④．
题目 答案 解析 备注
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