如果对任意一个三角形，只要它的三边长 $a,b,c$ 都在函数 $f(x)$ 的定义域内，就有 $f(a),f(b),f(c)$ 也是某个三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为保三角函数，则下列函数中是保三角函数的是
① $f(x)=\sqrt x$；
② $g(x)=\sin x$，$x\in (0,\pi)$；
③ $h(x)=\ln x$，$x\in [2,+\infty)$．
① $f(x)=\sqrt x$；
② $g(x)=\sin x$，$x\in (0,\pi)$；
③ $h(x)=\ln x$，$x\in [2,+\infty)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①③
【解析】
一个单调函数是保三角函数的充要条件是对任意定义域上的实数 $a,b,c$，若 $a+b>c$，则 $f(a)+f(b)>f(c)$．② 的反例为 $a=b=\dfrac{5{\pi}}6$，而 $c=\dfrac{\pi}2$．对于 ①，当 $a+b>c$ 时，有$$\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\geqslant \sqrt{a+b}>\sqrt c;$$对于 ③，当 $a+b>c,a,b,c\geqslant 2$ 时，有 $(a-1)(b-1)\geqslant 1$ 知 $ab\geqslant a+b$，从而有$$\ln a+\ln b=\ln(ab)\geqslant \ln(a+b)>\ln c.$$
题目
答案
解析
备注
