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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27475 5940b352c8f8b9000b250b2b 高中 解答题 高中习题 已知 $2x+y=1$，求 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最值． 2022-04-17 21:35:04
27473 59439105a26d28000bb86e53 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$）是实数，证明：可以选取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\] 2022-04-17 21:34:04
27471 59489717d37330000a165897 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${x_1}{x_2} \cdots {x_n} = 1$，${x_i} > 0$，$i = 1,2, \cdots ,n$，求证：\[\left( {\sqrt 2 + {x_1}} \right)\left( {\sqrt 2 + {x_2}} \right) \cdots \left( {\sqrt 2 + {x_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}.\] 2022-04-17 21:33:04
27466 5909751c39f91d0007cc9325 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，三边长为 $a,b,c$，求证：$$4b^3c^3\geqslant (b+c)^2(-a+b+c)^2(a-b+c)(a+b-c).$$ 2022-04-17 21:30:04
27465 5909755139f91d0008f04fbc 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，证明：$\displaystyle \sum\limits_{cyc}\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}\geqslant (a+b+c)^2$． 2022-04-17 21:29:04
27463 5909791239f91d000a7e44f3 高中 解答题 高中习题 试比较 ${\rm e},\sqrt 3+1,\sqrt 7,\sqrt 8$ 的大小，并证明． 2022-04-17 21:29:04
27461 5909841f39f91d0008f05039 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $0<a_n<1$，求证：$$a_1(1-a_1)+(a_2-a_1)(1-a_2)+(a_3-a_2)(1-a_3)+\cdots +(a_n-a_{n-1})(1-a_n)<\dfrac 12.$$ 2022-04-17 21:27:04
27452 5909886f39f91d000a7e4572 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac 54(a+b+c)$． 2022-04-17 21:21:04
27444 59098aeb39f91d000a7e4591 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right) ={{\mathrm{e}}^x}+{{\mathrm{e}}^{- x}}$，其中 ${\mathrm{e}}$ 是自然对数的底数． 2022-04-17 21:17:04
27438 59098e3938b6b4000adaa23c 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z\in (0,1)$，求证：$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1$． 2022-04-17 21:15:04
27436 59098f3838b6b400072dd203 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a_1,a_2,\cdots,a_{2016}$ 满足 $9a_i>11a_{i+1}^2(i=1,2,\cdots,2015)$．求$$\left(a_1-a_2^2\right)\cdot\left(a_2-a_3^2\right)\cdots(a_{2015}-a_{2016}^2)\cdot(a_{2016}-a_1^2)$$的最大值． 2022-04-17 21:14:04
27426 59099dfd38b6b4000adaa2c0 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y\in\mathbb R$，则 $\max\{x^2+xy+x,4y^2+xy+2y\}$ 的最小值是 ． 2022-04-17 21:08:04
27418 590a838e6cddca00078f3808 高中 解答题 高中习题 设非负实数 $a,b,c$ 都满足 $a^2+b^2+c^2+abc=4$，求证：$0\leqslant ab+bc+ca-abc\leqslant 2$． 2022-04-17 21:03:04
27416 590a8e3a6cddca00078f3830 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b\in\mathbb R$，关于 $x$ 的方程 $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ 有一个实根，求 $a^2+b^2$ 的最小值． 2022-04-17 21:02:04
27413 590a8ef86cddca00092f6eae 高中 解答题 自招竞赛 设正数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=1$，求 $\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}$ 的取值范围． 2022-04-17 21:00:04
27410 590a919b6cddca00078f3853 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b,c>0$，$a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\dfrac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\dfrac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\geqslant \dfrac 32$． 2022-04-17 21:58:03
27404 590a93dd6cddca000a0818c7 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=1$，求证：$5\left(a^2+b^2+c^2\right)+18abc\geqslant \dfrac 73$． 2022-04-17 21:54:03
27403 590a94136cddca00078f386c 高中 解答题 高中习题 求证：$\left({\rm e}^1+{\rm e}^{-1}\right)\left({\rm e}^2+{\rm e}^{-2}\right)\cdots \left({\rm e}^n+{\rm e}^{-n}\right)>\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{\frac n2}$． 2022-04-17 21:53:03
27400 590a99706cddca00092f6f01 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且 $abc+a+c=b$，求 $m=\dfrac{2}{a^2+1}-\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}$ 的最大值． 2022-04-17 21:52:03
27398 590a9a356cddca000a0818ee 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\ln x$，$n$ 是正整数，求证：$$\displaystyle \dfrac 54n+\dfrac 1{60}<\sum_{k=1}^n\left[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)\right]<2n+1.$$ 2022-04-17 21:51:03
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