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已知 $2x+y=1$，求 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    构造几何图形
【答案】
最小值为 $\dfrac 45$，不存在最大值
【解析】
情形一如图，当 $x\geqslant 0$ 时，设 $P$ 为直线 $2x+y=1$ 上的一点，则$$x+\sqrt{x^2+y^2}=PO+PH,$$根据“将军饮马”问题，该值有最小值，为 $O$ 关于直线 $2x+y=1$ 的对称点 $Q\left(\dfrac 45,\dfrac 25\right)$ 到 $y$ 轴的距离 $\dfrac 45$．
情形二如图，当 $x<0$ 时，设 $P$ 为直线 $2x+y=1$ 上的一点，则$$x+\sqrt{x^2+y^2}=PO-PH,$$而$$PO>OH=OB+2PH>1+PH,$$于是$$PO-PH>1.$$综合以上，所求代数式最小值为 $\dfrac 45$，不存在最大值．
答案 解析 备注
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