在 $\triangle ABC$ 中，三边长为 $a,b,c$，求证：$$4b^3c^3\geqslant (b+c)^2(-a+b+c)^2(a-b+c)(a+b-c).$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a=y+z,b=z+x,c=x+y$，其中 $x,y,z>0$，则原不等式等价于$$4(z+x)^3(x+y)^3\geqslant (2x+y+z)^2\cdot 4x^2\cdot 2y\cdot 2z,$$即$$(x+y)^3(x+z)^3\geqslant 4x^2yz(2x+y+z)^2.$$展开整理，即$$x^6+x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3+x^2y^2z^2+3x^4(y-z)^2+3x(y+z)\left(x^2-yz\right)^2\geqslant x^2yz(x^2+y^2+z^2+xy+xz),$$因此只需要证明$$x^6+x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3+3x^2y^2z^2\geqslant xyz\left(x^3+xy^2+xz^2+x^2y+x^2z+2xyz\right),$$根据三元Schur不等式，有$$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3+3x^2y^2z^2\geqslant xyz\left(xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x\right),$$因此只需要证明$$x^6+xy^3z^2+xy^2z^3\geqslant 2x^2y^2z^2+x^4yz.$$事实上，由均值不等式$$x^6+x^2y^2z^2\geqslant 2x^4yz,$$且$$x^4yz+xy^3z^2+xy^2z^3\geqslant 3x^2y^2z^2,$$两式相加即得分析之后的不等式，因此原不等式得证，且等号取得的条件是 $x=y=z$，即 $a=b=c$，也即 $\triangle ABC$ 为正三角形．
答案
解析
备注
