已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $0<a_n<1$，求证：$$a_1(1-a_1)+(a_2-a_1)(1-a_2)+(a_3-a_2)(1-a_3)+\cdots +(a_n-a_{n-1})(1-a_n)<\dfrac 12.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} LHS&=a_n-\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots +a_n^2-a_1a_2-a_2a_3-\cdots -a_na_{n-1}\right)\\
&=a_n-\dfrac 12\left[(a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+\cdots +(a_{n-1}-a_n)^2\right]-\dfrac 12a_1^2-\dfrac 12a_n^2\\
&<a_n-\dfrac 12a_n^2<\dfrac 12,\end{split}\]因此原不等式得证．
&=a_n-\dfrac 12\left[(a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+\cdots +(a_{n-1}-a_n)^2\right]-\dfrac 12a_1^2-\dfrac 12a_n^2\\
&<a_n-\dfrac 12a_n^2<\dfrac 12,\end{split}\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
