试比较 ${\rm e},\sqrt 3+1,\sqrt 7,\sqrt 8$ 的大小，并证明．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 7<{\rm e}<\sqrt 3+1<\sqrt 8$
【解析】
显然有 $\sqrt 7<\sqrt 3+1<\sqrt 8$，接下来证明 $\sqrt 7<{\rm e}<\sqrt 3+1$．
考虑到$${\rm e}=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots +\dfrac{1}{n!}+\cdots ,$$于是$${\rm e}>1+1+\dfrac 12+\dfrac 16=\dfrac {8}3,$$因此 ${\rm e}^2>\dfrac{64}{9}>7$，即 ${\rm e}>\sqrt 7$．
又\[\begin{split} {\rm e}&<1+1+\dfrac 12+\dfrac 16+\dfrac{1}{24}+\dfrac 1{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}+\dfrac 1{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}+\cdots +\dfrac{1}{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)}+\cdots \\
&=\dfrac{65}{24}+\dfrac 13\left[\dfrac {1}{4\cdot 3\cdot 2}-\dfrac{1}{5\cdot 4\cdot 3}\right]+\dfrac 13\left[\dfrac {1}{5\cdot 4\cdot 3}-\dfrac{1}{6\cdot 5\cdot 4}\right]+\cdots \\
&<\dfrac{65}{24}+\dfrac{1}{72}=\dfrac{49}{18},\end{split}\]而$$\dfrac{49}{18}=1+\dfrac{31}{18}=1+\sqrt{\dfrac{961}{324}}<1+\sqrt 3,$$因此 ${\rm e}<\sqrt 3+1$．
综上所述，有 $\sqrt 7<{\rm e}<\sqrt 3+1<\sqrt 8$．
考虑到$${\rm e}=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots +\dfrac{1}{n!}+\cdots ,$$于是$${\rm e}>1+1+\dfrac 12+\dfrac 16=\dfrac {8}3,$$因此 ${\rm e}^2>\dfrac{64}{9}>7$，即 ${\rm e}>\sqrt 7$．
又\[\begin{split} {\rm e}&<1+1+\dfrac 12+\dfrac 16+\dfrac{1}{24}+\dfrac 1{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}+\dfrac 1{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}+\cdots +\dfrac{1}{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)}+\cdots \\
&=\dfrac{65}{24}+\dfrac 13\left[\dfrac {1}{4\cdot 3\cdot 2}-\dfrac{1}{5\cdot 4\cdot 3}\right]+\dfrac 13\left[\dfrac {1}{5\cdot 4\cdot 3}-\dfrac{1}{6\cdot 5\cdot 4}\right]+\cdots \\
&<\dfrac{65}{24}+\dfrac{1}{72}=\dfrac{49}{18},\end{split}\]而$$\dfrac{49}{18}=1+\dfrac{31}{18}=1+\sqrt{\dfrac{961}{324}}<1+\sqrt 3,$$因此 ${\rm e}<\sqrt 3+1$．
综上所述，有 $\sqrt 7<{\rm e}<\sqrt 3+1<\sqrt 8$．
答案
解析
备注
