设实数 $a_1,a_2,\cdots,a_{2016}$ 满足 $9a_i>11a_{i+1}^2(i=1,2,\cdots,2015)$．求$$\left(a_1-a_2^2\right)\cdot\left(a_2-a_3^2\right)\cdots(a_{2015}-a_{2016}^2)\cdot(a_{2016}-a_1^2)$$的最大值．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{4^{2016}}$
【解析】
令原式为 $P$．由于 $a_i-a_{i+1}^2>0$，$i=1,2,\cdots ,2015$，因此只需要考虑当 $a_{2016}-a_1^2>0$ 的情况，记 $a_{2017}=a_1$，则$$\begin{split} P^{\frac{1}{2016}}\leqslant &\dfrac{1}{2016}\sum_{k=1}^{2016}\left(a_k-a_{k+1}^2\right)
\\=&\dfrac{1}{2016}\left(\sum_{k=1}^{2016}a_k-\sum_{k=1}^{2016}a_k^2\right)
\\=&\dfrac{1}{2016}\sum_{k=1}^{2016}\left[a_k\left(1-a_k\right)\right]
\leqslant \dfrac{1}{4},\end{split} $$等号当 $a_1=a_2=\cdots =a_{2016}=\dfrac 12$ 时取得．因此 $P$ 的最大值为 $\dfrac{1}{4^{2016}}$．
\\=&\dfrac{1}{2016}\left(\sum_{k=1}^{2016}a_k-\sum_{k=1}^{2016}a_k^2\right)
\\=&\dfrac{1}{2016}\sum_{k=1}^{2016}\left[a_k\left(1-a_k\right)\right]
\leqslant \dfrac{1}{4},\end{split} $$等号当 $a_1=a_2=\cdots =a_{2016}=\dfrac 12$ 时取得．因此 $P$ 的最大值为 $\dfrac{1}{4^{2016}}$．
答案
解析
备注
