已知 $f(x)=\ln x$，$n$ 是正整数，求证：$$\displaystyle \dfrac 54n+\dfrac 1{60}<\sum_{k=1}^n\left[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)\right]<2n+1.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有$$2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)=\ln\dfrac{(2k+1)^2}{k(k+1)}=\ln\left(4+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right),$$而$$\dfrac 54<\ln 4<\ln\left(4+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)<\ln 5<2,$$又 $k=1$ 时，有$$\dfrac 54+\dfrac 1{60}<\ln\dfrac 92<3,$$累加即得．
答案
解析
备注
