已知 $x,y\in\mathbb R$，则 $\max\{x^2+xy+x,4y^2+xy+2y\}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac 16$
【解析】
根据题意，有\begin{eqnarray*}\begin{split} \max\{x^2+xy+x,4y^2+xy+2y\}&\geqslant \dfrac {x^2+xy+x+4y^2+xy+2y}2\\
&=\dfrac{\left(x+y+\dfrac 12\right)^2+3\left(y+\dfrac 16\right)^2-\dfrac 13}2\\
&\geqslant -\dfrac 16
,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $x=-\dfrac 13$，$y=-\dfrac 16$ 时取得，因此所求最小值为 $-\dfrac 16$．
&=\dfrac{\left(x+y+\dfrac 12\right)^2+3\left(y+\dfrac 16\right)^2-\dfrac 13}2\\
&\geqslant -\dfrac 16
,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $x=-\dfrac 13$，$y=-\dfrac 16$ 时取得，因此所求最小值为 $-\dfrac 16$．
答案
解析
备注
