设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$）是实数，证明：可以选取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\]
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先，由于问题中 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的对称性，可设 $a_1\geqslant a_2\geqslant \cdots \geqslant a_n$，此外，若将 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 $\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^na_i\right)^2$ 不减，而右边的 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^na_i^2$ 不变，并且此变化不影响 $\varepsilon$ 的选取，因此我们可以进一步设 $a_1\geqslant a_2\geqslant \cdots a_n\geqslant 0$．
引理 设 $a_1\geqslant a_2\geqslant \cdots a_n\geqslant n$，则\[0\leqslant \sum_{i=1}^n\left(-1\right)^{i-1}a_i\leqslant a_1.\]引理的证明从略．
于是回到原题，由柯西不等式及上述引理可得\[\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}a_i\right)^2\leqslant n\sum_{i=1}^na_i^2+a_1^2\leqslant (n+1)\sum_{i=1}^na_i^2,\]这就证明了结论．
于是回到原题，由柯西不等式及上述引理可得\[\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}a_i\right)^2\leqslant n\sum_{i=1}^na_i^2+a_1^2\leqslant (n+1)\sum_{i=1}^na_i^2,\]这就证明了结论．
答案
解析
备注
