已知 $a,b,c>0$，证明：$\displaystyle \sum\limits_{cyc}\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}\geqslant (a+b+c)^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由Cauchy不等式，有\[\begin{split} LHS&=\sum_{cyc}\sqrt{\left[\left(\dfrac{\sqrt 3}2b\right)^2+\left(a+\dfrac 12b\right)^2\right]\cdot \left[\left(\dfrac{\sqrt 3}2b\right)^2+\left(c+\dfrac 12b\right)^2\right]}\\
&\geqslant \sum_{cyc}\left[\dfrac 34b^2+\left(a+\dfrac 12b\right)\left(c+\dfrac 12b\right)\right]\\
&=\sum_{cyc}\left(b^2+\dfrac 12bc+\dfrac 12ab+ac\right)\\
&=(a+b+c)^2,\end{split}\]因此原不等式得证．
&\geqslant \sum_{cyc}\left[\dfrac 34b^2+\left(a+\dfrac 12b\right)\left(c+\dfrac 12b\right)\right]\\
&=\sum_{cyc}\left(b^2+\dfrac 12bc+\dfrac 12ab+ac\right)\\
&=(a+b+c)^2,\end{split}\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
