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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20694 5c763c28210b28428f14ce10 高中 解答题 自招竞赛 有多少个小于1000的正整数 $N$ 使得方程 ${{x}^{\left[ x \right]}}=N$ 有解（$\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数）？ 2022-04-17 20:08:02
20689 5c763c7f210b28428f14ce35 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=10$，$BC=14$，$CA=16$．$D$ 是线段 $BC$ 上一点，${{I}_{B}}$，${{I}_{C}}$ 分别是 $\vartriangle ABD$，$\vartriangle ACD$ 的内心．$\vartriangle B{{I}_{B}}D$，$\vartriangle C{{I}_{C}}D$ 的外接圆交于两不同点 $P$，$Q$．$\vartriangle BPC$ 的面积的最大值可以表示为 $a-b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a b c$ 都是正整数且 $c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:05:02
20682 5c77429e210b28428f14ce5c 高中 解答题 自招竞赛 四座灯塔分别位于 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点处，灯塔 $A$ 与灯塔 $B$ 相距 $5\text{km}$ 灯塔 $B$ 与灯塔 $C$ 相距 $12\text{km}$，灯塔 $A$ 与灯塔 $C$ 相距 $13\text{km}$．对灯塔 $A$ 处的观测者而言，灯塔 $B$，$D$ 所成的夹角与灯塔 $C$，$D$ 所成的夹角相等（即 $\angle BAD=\angle CAD$）；对灯塔 $C$ 处的观测者而言，灯塔 $A$，$B$ 所成的夹角与灯塔 $D$，$B$ 所成的夹角相等（即 $\angle ACB=\angle DCB$）．若灯塔 $A$ 与灯塔 $D$ 之间的距离为 $\frac{p\sqrt{r}}{q}\text{km}$，其中 $p$，$q$ 是互素的正整数，$r$ 不被任何素数的平方整除，求 $p+q+r$． 2022-04-17 20:02:02
20678 5c7742bd210b28428f14ce77 高中 解答题 自招竞赛 设 $MN=1$ 是圆的直径，$A$，$B$ 是此圆半圆弧上的两点且 $A$ 是该半圆弧的中点，$MB=\frac{3}{5}$．点 $C$ 位于另一半圆弧上．设直径 $MN$ 与弦 $AC$，$BC$ 的交点间的线段长为 $d$．若 $d$ 这的最大值可以写为 $r-s\sqrt{t}$ 的形式，其中 $r s t$ 是正整数且 $t$ 不被任何素数的平女整除，求 $r+s+t$． 2022-04-17 20:00:02
20677 5c774c5f210b28428f14ce89 高中 解答题 自招竞赛 Maya列出 ${{2010}^{2}}$ 的所有正约数，然后她从中随机选取两个不同的约数。设她选的两个约数中恰好有一个是完全平方数的概率为 $p$，且 $p$ 可以表示成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数。求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:59:01
20676 5c774c6c210b28428f14ce8f 高中 解答题 自招竞赛 求 $9\times 99\times 999\times \ldots \times \underbrace{99\ldots 9}_{9999}$ 除以1000所得的余数。 2022-04-17 20:59:01
20675 5c774c80210b28428f14ce9a 高中 解答题 自招竞赛 Jackie和Phil有两枚匀称的硬币和一枚不匀称的硬币，这枚不匀称的硬币抛出后正面出现的概率为 $\frac{4}{7}$ 。Jackie投掷这三枚硬币，然后Phil也投掷这三枚硬币。假设Jackie和Phil得到正面的个数相同的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:58:01
20674 5c774c8a210b28428f14cea0 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $a$，$b$，$c$ 和 $d$ 满足 $abcd$，$a+b+c+d=2010$ 和 ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{d}^{2}}=2010$ 。求 $a$ 的所有可能值的个数。 2022-04-17 20:58:01
20671 5c774ca4210b284290fc25b0 高中 解答题 自招竞赛 对实数 $a$，令 $\left[ a \right]$ 表示小于或等于 $a$ 的最大整数。设 $R$ 为坐标平面内满足 ${{\left[ x \right]}^{2}}+{{\left[ y \right]}^{2}}=25$ 的点 $\left( x ,y \right)$ 所组成的区域。区域 $R$ 被完全包含在一个半径为 $r$ 的圆盘中（圆盘是指圆周与它内部的点的并集）。 $r$ 的最小值可以表示成 $\frac{\sqrt{m}}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 都是整数且 $m$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:56:01
20669 5c774cb8210b28428f14ceb6 高中 解答题 自招竞赛 设2010可以用 $N$ 种方式表示成如下形式：
$2010={{a}_{3}}\cdot {{10}^{3}}+{{a}_{2}}\cdot {{10}^{2}}+{{a}_{1}}\cdot 10+{{a}_{0}}$
其中 ${{a}_{i}}$ 是整数，且 $0\leqslant {{a}_{i}}\leqslant 99$ 。例如 $1\times {{10}^{3}}+3\times {{10}^{2}}+67\times {{10}^{1}}+40\times {{10}^{0}}$ 是其中的一种表示。求 $N$ 的值。		 2022-04-17 20:55:01
20667 5c774ccd210b284290fc25b8 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 和以 $AB$ 为直径的半圆共面且内部不重叠。设 $R$ 为矩形和半圆所围成的区域，直线 $l$ 分别交半圆，线段 $AB$ 和线段 $CD$ 于不同的点 $N$，$U$ 和 $T$ 。直线 $l$ 将区域 $R$ 分成面积比为 $1:2$ 的两部分。若 $AU=84$，$AN=126$，$UB=168$，则 $DA$ 的长度为 $m\sqrt{n}$，其中 $m$、$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:54:01
20664 5c77696b210b28428f14ced7 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $N$ 能被36整除，它各数位上的数字两两不同且都是偶数。求 $N$ 的最大值除以1000所得的余数。 2022-04-17 20:52:01
20663 5c776976210b284290fc25d0 高中 解答题 自招竞赛 在单位正方形 $S$ 内随机选取一点 $P$，令 $d\left( P \right)$ 为点 $P$ 到最近的边的距离。 $\frac{1}{5}\leqslant d\left( P \right)\leqslant \frac{1}{3}$ 的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:52:01
20662 5c77697e210b28428f14cedc 高中 解答题 自招竞赛 设 $K$ 为所有的 $\left( b-a \right)$（这些值不一定相异）之积，其中正整数 $a$，$b$ 满足 $1\leqslant ab\leqslant 20$ 。求出最大的正整数 $n$ 使得 ${{2}^{n}}$ 整除 $K$ 。 2022-04-17 20:51:01
20659 5c776996210b28428f14cee2 高中 解答题 自招竞赛 求出具有如下性质的正整数 $n$ 的最小值：多项式 ${{x}^{4}}-nx+63$ 可以分解成两个非常数的整系数多项式之积。 2022-04-17 20:50:01
20656 5c7769af210b284290fc25ee 高中 解答题 自招竞赛 求出满足如下条件的整系数二次多项式 $f\left( x \right)$ 的个数；$f\left( x \right)$ 的所有根均为整数且 $f\left( 0 \right)=2010$ 。 2022-04-17 20:48:01
20652 5c7769c8210b284290fc2600 高中 解答题 自招竞赛 在 $\text{Rt}\vartriangle ABC$ 中，$\angle ACB={{90}^{\circ }}$，$\angle BAC{{45}^{\circ }}$，$AB=4$ 。点 $P$ 在边 $AB$ 上，使得 $\angle APC=2\angle ACP$，$CP=1$ 。 $\frac{AP}{BP}$ 可以表示成 $p+q\sqrt{r}$，其中，$p$，$q$，$r$ 是正整数，且 $r$ 不能被任何素数的平方整除。求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:45:01
20635 5c8b1b1d210b286d074540fd 高中 解答题 自招竞赛 盖瑞买了一大瓶饮料，但是他只喝去了其中的 $\frac{m}{n}$（$m$，$n$ 为互质正整数）。如果他只买一半的饮料同时喝去原先两倍的量，那么他浪费掉的饮料只会是之前浪费量的 $\frac{2}{9}$ 。求出 $m+n$ 。 2022-04-17 20:35:01
20629 5c8b1b43210b286d125ef28f 高中 解答题 自招竞赛 爱德有 $5$ 块相同的绿色大理石和大量相同的红色大理石。将绿色和红色的大理石排成一排后，他发现与自己右侧相邻石子颜色相同的大理石和与自己右侧相邻石子颜色不同的大理石个数相同。例如，排列方式为 绿绿红红红绿绿红绿 既满足条件。记 $m$ 为存在满足条件的排列方式的红大理石数目的最大值，并记 $N$ 为 $m+5$ 块大理石构成的满足条件的排列方式的个数。求 $N$ 模 $1000$ 的值。 2022-04-17 20:32:01
20628 5c8b1b48210b286d07454118 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{z}_{1}}\text{,}{{z}_{2}}\text{,}{{z}_{3}}\text{,}\cdots \text{,}{{z}_{12}}$ 为多项式 ${{z}^{12}}-{{2}^{36}}$ 的12个根。对于每一个 $j$，令 ${{w}_{j}}$ 取值 ${{z}_{j}}$ 或 $i{{z}_{j}}$ 。这时 $\displaystyle \sum\limits_{j\text{=}1}^{12}{{{w}_{j}}}$ 实部的最大值可以写作 $m+\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:32:01
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