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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15649 59116c6fe020e7000878f5d0 高中 解答题 自招竞赛 参数 $a$ 取何值时：$\dfrac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}2}} + \dfrac{{{{\log }_x}\left( {2a - x} \right)}}{{{{\log }_x}2}} = \dfrac{1}{{{{\log }_{({a^2} - 1)}}2}}$． 2022-04-17 19:38:15
15648 59117310e020e7000878f60a 高中 解答题 高中习题 已知 $g(x)=|x^2-ax-a|$，若对任意实数 $a$，存在 $x_0\in [0,1]$，使 $g(x_0)\geqslant k$ 成立，求 $k$ 的取值范围． 2022-04-17 19:38:15
15643 59118722e020e700094b0a32 高中 解答题 自招竞赛 定义闭集合 $S$：若 $a,b \in S$，则 $a + b \in S$，$a - b \in S$． 2022-04-17 19:35:15
15640 59126a84e020e7000a7989f1 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f\left( x \right) = \left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right|$，试讨论 $f\left( x \right)$ 的性质（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在 $\left[ {0,2{\mathrm{\pi }}} \right]$ 内的图像． 2022-04-17 19:34:15
15635 59127575e020e700094b0b6d 高中 解答题 自招竞赛 试利用三角函数求函数 $f(x) = 4 - 2{x^2} + x\sqrt {1 - {x^2}} $ 的最大值与最小值． 2022-04-17 19:31:15
15633 5912777ee020e7000878f830 高中 解答题 自招竞赛 方程 ${x^3} + p{x^2} + qx + 1 = 0$ 有 $3$ 个实根，且 $p,q$ $ > 0 $．求证：$ pq \geqslant 9$． 2022-04-17 19:30:15
15617 59128b4fe020e70007fbedb4 高中 解答题 自招竞赛 某次考试共有 $333$ 名学生做对了 $1000$ 道题．做对 $3$ 道及以下为不及格，$6$ 道及以上为优秀，问不及格和优秀的人数哪个多？ 2022-04-17 19:19:15
15614 5912aae3e020e70007fbee00 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f\left( x \right)$ 是定义在 $\left[ { - 4 , + \infty } \right)$ 上的单调增函数，要使得对于一切的实数 $x$，不等式 $f\left( {\cos x - {b^2}} \right) \geqslant f\left( {{{\sin }^2}x - b - 3} \right)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围． 2022-04-17 19:18:15
15604 5912b63be020e7000878f9db 高中 解答题 自招竞赛 求由正整数组成的集合 $S$（元素个数不少于 $2$），使 $S$ 中的元素之和等于元素之积． 2022-04-17 19:11:15
15602 5912b6b9e020e7000878f9e1 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 满足：对实数 $a,b$ 有 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$，且 $\left|f(x)\right|\leqslant1$，求证：$f(x)$ 恒为零．（可用以下结论：若 $\lim\limits_{x\to \infty}{g(x)}=0$，$\left|f(x)\right|\leqslant M$，$M$ 为一常数，那么 $\lim\limits_{x\to \infty}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=0$．） 2022-04-17 19:10:15
15591 59140798e020e700094b0ddf 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 为正整数，求证：$\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数． 2022-04-17 19:05:15
15589 591427ec1edfe20007c509aa 高中 解答题 高中习题 已知：集合 $S$ 由 $5$ 个非负实数构成，且满足对任意 $x,y\in S,x \geqslant y$，$x+y$ 与 $x-y$ 这两个数至少有一个属于 $S$．求证：一定存在正实数 $a$，使得集合 $S=\left\{0,a,2a,3a,4a\right\}$． 2022-04-17 19:03:15
15588 59277c8374a309000813f651 高中 解答题 高考真题 已知集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,2n\}$（$n\in {\mathbb N}^+$）．对于 $A$ 的一个子集 $S$，若存在不大于 $n$ 的正整数 $m$，使得对于 $S$ 中的任意一对元素 $s_1$，$s_2$，都有 $|s_1-s_2|\ne m$，则称 $S$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 19:02:15
15586 592787fd74a309000ad0ce6e 高中 解答题 高考真题 已知集合 $A=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n\}$，其中 $a_i\in \mathbb R$（$1\leqslant i\leqslant n$，$n\geqslant 3$），$l(A)$ 表示 $a_i+a_j$ 中所有不同数值的个数，其中 $1\leqslant i<j\leqslant n $． 2022-04-17 19:01:15
15569 595745d6d3b4f900086c44f6 高中 解答题 自招竞赛 己知函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left({x+y}\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)+xy\left({x+y}\right)$，又 $f'\left(0\right)=1$，求函数 $f\left(x\right)$ 的解析式． 2022-04-17 19:50:14
15555 5960e7983cafba00083371cd 高中 解答题 高中习题 已知圆周率 $\pi$ 是无理数，函数 $f(x)=\sin x+\sin (\pi x)$，求证：$f(x)$ 不是周期函数． 2022-04-17 19:44:14
15489 596875db22d14000091d7210 高中 解答题 自招竞赛 集合 $A\subseteq\mathbb R$，$\mathbb A$ 是 $A$ 的所有子集所组成的集合．若 $A$ 满足：对任意的映射 $f:\mathbb A\mapsto\mathbb A$，总存在 $X\in\mathbb A$，有$$\underbrace{f\left(f\left(\cdots\left(f\left(X\right)\right)\cdots\right)\right)}_{2^n}\ne A-X,$$这里 $A-X$ 表示 $A$ 的子集 $X$ 的补集，$n$ 为给定的正整数．试求所有满足上述条件的集合 $A$． 2022-04-17 19:06:14
15485 596883ad22d140000ac07f21 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A$ 是所有十进制表示中的数码不包含 $2,0,1,6$ 的正整数 $x$ 构成的集合．证明：集合 $A$ 中的所有元素的倒数之和 $\displaystyle \sum\limits_{x\in A}\dfrac{1}{x}<3$． 2022-04-17 19:04:14
15450 59706671dbbeff0009d29ef1 高中 解答题 自招竞赛 $f(x)$ 的反函数是 $y=\dfrac x{1+x}$，$g_n(x)+\dfrac 1{f_n(x)}=0$，设 $f_1(x)=f(x)$，且对于 $n>1$，$n\in \mathbb N^*$，有 $f_n(x)=f_{n-1}[f_{n-1}(x)]$．求 $g_n(x)$（$n\in \mathbb N^*$）的解析表达式． 2022-04-17 19:47:13
15401 597edeaed05b900009165322 高中 解答题 高中习题 设函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$，其中 $\omega > 0$，$\varphi \in {\mathbb{R}}$，若存在常数 $T$（$T < 0$），使对任意 $x \in {\mathbb{R}}$ 有 $f\left( {x + T} \right) = T\cdot f\left( x \right)$，则 $\omega $ 可取到的最小值是多少？ 2022-04-17 19:21:13
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