己知函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left({x+y}\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)+xy\left({x+y}\right)$，又 $f'\left(0\right)=1$，求函数 $f\left(x\right)$ 的解析式．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学连读班测试题
【标注】
【答案】
$f\left(x\right)=\dfrac{{{x^3}}}{3}+x$
【解析】
取 $x=y$，则$$f\left({2x}\right)-2f\left(x\right)=2{x^3},$$所以$$\dfrac{{f\left({2x}\right)}}{{2x}}-\dfrac{{f\left(x\right)}}{x}={x^2}.$$因此$$\dfrac{{f\left(x\right)}}{x}-\dfrac{{f\left({\dfrac{x}{2}}\right)}}{{\dfrac{x}{2}}}=\dfrac{{{x^2}}}{4},\cdots,$$累加有$$\dfrac{{f\left(x\right)}}{x}-\dfrac{{f\left({\dfrac{x}{{{2^{n+1}}}}}\right)}}{{\dfrac{x}{{{2^{n+1}}}}}}=\dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{4}\left[{1-{{\left({\dfrac{1}{4}}\right)}^{n+1}}}\right]}}{{1-\dfrac{1}{4}}}.$$在题中取 $x=y=0$ 得 $f(0)=0$，所以$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac {f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=1,$$而 $n\to +\infty$ 时，有 $\dfrac x{2^{n+1}}\to 0$，所以两边对 $n$ 取极限，有$$\dfrac{{f\left(x\right)}}{x}-1=\dfrac{{{x^2}}}{3},$$所以$$f\left(x\right)=\dfrac{{{x^3}}}{3}+x.$$经检验，$f\left(x\right)=\dfrac{{{x^3}}}{3}+x$ 为所求．
答案
解析
备注
