集合 $A\subseteq\mathbb R$，$\mathbb A$ 是 $A$ 的所有子集所组成的集合．若 $A$ 满足：对任意的映射 $f:\mathbb A\mapsto\mathbb A$，总存在 $X\in\mathbb A$，有$$\underbrace{f\left(f\left(\cdots\left(f\left(X\right)\right)\cdots\right)\right)}_{2^n}\ne A-X,$$这里 $A-X$ 表示 $A$ 的子集 $X$ 的补集，$n$ 为给定的正整数．试求所有满足上述条件的集合 $A$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
所有元素个数小于或等于 $n$ 的实数的集合
【解析】
记$$f^k(X)=\underbrace{f(f(\cdots(f(X))\cdots))}_{k}.$$若存在有限子集 $B\subseteq A$，$|B|=n+1$，这里 $|B|$ 表示有限集 $B$ 的元素个数．
首先证明 存在映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$，对任意的集合 $Y\in \mathbb A$，均有 $f^{2^n}(Y)=A-Y$．
设集合 $B$ 的全部子集构成的集合为$$\mathbb B=\{B_0,B_1,\cdots,B_{2^{n+1}-1}\},$$其中 $B_0=\varnothing,B_{2^n}=B,B_i\cup B_{2^n+i}=B,B_i\cap b_{2^n+i}=\varnothing,i=0,1,\cdots,2^n-1$．
定义映射$$\varphi:\mathbb B\to\mathbb B , \varphi(B_i)=B_{i+1},i=0,1,\cdots,2^n-1 , \varphi(B_{2^{n+1}-1})=B_0,$$则对任意的 $B_i\in\mathbb B$，均有$$\varphi^{2^n}(B_i)=B-B_i.$$对于任意的 $Y\in A$，设 $Y\cap B=B_i$，$Y\cap (A-B)=X$，则 $Y=B_i\cup X$．
定义映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$ 如下：$$f(Y)=\begin{cases}\varphi(B_i)\cup X,&0\leqslant i\leqslant2^n-2,\\ \varphi(B_i)\cup \overline{X},&2^n-1\leqslant i\leqslant 2^{n+1}-2,\\X,&i=2^{n+1}-1.\end{cases}$$其中 $\overline{X}=(A-B)-X$，则对任意的 $Y\in\mathbb A$，均有 $f^{2^n}(Y)=A-Y$．
因此对于映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$，若不存在集合 $Y\in \mathbb A$，使得 $f^{2^n}(Y)\ne A-Y$，则 $|A|\leqslant n$．
其次证明 对任何有限集 $A$，$|A|=m\leqslant n$，均满足题设条件．
用反证法，假设存在映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$，使得对任意的 $Y\in\mathbb A$，均有 $f^{2^n}(Y)=A-Y$．
任取 $X\in \mathbb A$，由于 $\mathbb A$ 是有限集，故必存在整数 $k$，使得 $f^k(X)=X$，而且对任意的 $i,j,1\leqslant i,j<k\leqslant 2^m$，$i\ne j$，有 $f^i(X)\ne f^j(X)$．
设 $2^n=pk+l$，$1\leqslant l<k$，则有$$f^{2^n}(X)=f^l(X)=A-X,$$同理\[\begin{split}&f^{l+1}(X)=A-f(X),\\& f^{l+2}(X)=A-f^2(X),\\&\qquad\qquad\cdots \\&f^{2l-1}(X)=f^{k-1}(X)=A-f^{l-1}(X),\end{split}\]由此可知 $k=2l$，所以$$2^n=pk+l=(2p+1)l,$$而 $2^n$ 不含不为 $1$ 的奇数因子，矛盾．
因此不存在这样的映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$，使得对任意的 $Y\in\mathbb A$，均有 $f^{2^n}(Y)=A-Y$，即对任一映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$，均存在 $Y\in\mathbb A$，有 $f^{2^n}(Y)\ne A-Y$．
因此对任何有限集 $A$，$|A|=m\leqslant n$，均满足题设条件．
综上知，$A$ 必为所有元素个数小于或等于 $n$ 的实数的集合．
设集合 $B$ 的全部子集构成的集合为$$\mathbb B=\{B_0,B_1,\cdots,B_{2^{n+1}-1}\},$$其中 $B_0=\varnothing,B_{2^n}=B,B_i\cup B_{2^n+i}=B,B_i\cap b_{2^n+i}=\varnothing,i=0,1,\cdots,2^n-1$．
定义映射$$\varphi:\mathbb B\to\mathbb B , \varphi(B_i)=B_{i+1},i=0,1,\cdots,2^n-1 , \varphi(B_{2^{n+1}-1})=B_0,$$则对任意的 $B_i\in\mathbb B$，均有$$\varphi^{2^n}(B_i)=B-B_i.$$对于任意的 $Y\in A$，设 $Y\cap B=B_i$，$Y\cap (A-B)=X$，则 $Y=B_i\cup X$．
定义映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$ 如下：$$f(Y)=\begin{cases}\varphi(B_i)\cup X,&0\leqslant i\leqslant2^n-2,\\ \varphi(B_i)\cup \overline{X},&2^n-1\leqslant i\leqslant 2^{n+1}-2,\\X,&i=2^{n+1}-1.\end{cases}$$其中 $\overline{X}=(A-B)-X$，则对任意的 $Y\in\mathbb A$，均有 $f^{2^n}(Y)=A-Y$．
因此对于映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$，若不存在集合 $Y\in \mathbb A$，使得 $f^{2^n}(Y)\ne A-Y$，则 $|A|\leqslant n$．
用反证法，假设存在映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$，使得对任意的 $Y\in\mathbb A$，均有 $f^{2^n}(Y)=A-Y$．
任取 $X\in \mathbb A$，由于 $\mathbb A$ 是有限集，故必存在整数 $k$，使得 $f^k(X)=X$，而且对任意的 $i,j,1\leqslant i,j<k\leqslant 2^m$，$i\ne j$，有 $f^i(X)\ne f^j(X)$．
设 $2^n=pk+l$，$1\leqslant l<k$，则有$$f^{2^n}(X)=f^l(X)=A-X,$$同理\[\begin{split}&f^{l+1}(X)=A-f(X),\\& f^{l+2}(X)=A-f^2(X),\\&\qquad\qquad\cdots \\&f^{2l-1}(X)=f^{k-1}(X)=A-f^{l-1}(X),\end{split}\]由此可知 $k=2l$，所以$$2^n=pk+l=(2p+1)l,$$而 $2^n$ 不含不为 $1$ 的奇数因子，矛盾．
因此不存在这样的映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$，使得对任意的 $Y\in\mathbb A$，均有 $f^{2^n}(Y)=A-Y$，即对任一映射 $f:\mathbb A\to\mathbb A$，均存在 $Y\in\mathbb A$，有 $f^{2^n}(Y)\ne A-Y$．
因此对任何有限集 $A$，$|A|=m\leqslant n$，均满足题设条件．
综上知，$A$ 必为所有元素个数小于或等于 $n$ 的实数的集合．
答案
解析
备注
