方程 ${x^3} + p{x^2} + qx + 1 = 0$ 有 $3$ 个实根，且 $p,q$ $ > 0 $．求证：$ pq \geqslant 9$．
【难度】
【出处】
2008年南开大学自主招生考试数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设三个实根分别为 ${x_1}, {x_2}, {x_3}$，根据三次方程的韦达定理，有$$\begin{cases}{x_1} + {x_2} + {x_3} = - p,\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = q,\\{x_1}{x_2}{x_3} = - 1.\end{cases}$$因此，容易知道$${x_1}, {x_2}, {x_3} < 0,$$根据柯西不等式，$$pq = \left[ {\left( { - {x_1}} \right) + \left( { - {x_2}} \right) + \left( { - {x_3}} \right)} \right]\left( {{x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} + {x_1}{x_2}} \right) \geqslant 9.$$
答案
解析
备注
