已知函数 $f\left( x \right)$ 是定义在 $\left[ { - 4 , + \infty } \right)$ 上的单调增函数，要使得对于一切的实数 $x$，不等式 $f\left( {\cos x - {b^2}} \right) \geqslant f\left( {{{\sin }^2}x - b - 3} \right)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2009年华南理工大学自主招生保送生选拔考试
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2},1\right]$
【解析】
依题意 $\cos x - {b^2} \geqslant {\sin ^2}x - b - 3 \geqslant - 4$．则有$$\begin{cases} - {\left( {\cos x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{5}{4} \leqslant - {b^2} + b + 3\\{\sin ^2}x - b - 3 \geqslant - 4\end{cases},$$于是$$\begin{cases} - {b^2} + b + 3 \geqslant \dfrac{5}{4}\\ b \leqslant 1\end{cases},$$解得$$\dfrac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant b \leqslant 1.$$
答案
解析
备注
