$f(x)$ 的反函数是 $y=\dfrac x{1+x}$，$g_n(x)+\dfrac 1{f_n(x)}=0$，设 $f_1(x)=f(x)$，且对于 $n>1$，$n\in \mathbb N^*$，有 $f_n(x)=f_{n-1}[f_{n-1}(x)]$．求 $g_n(x)$（$n\in \mathbb N^*$）的解析表达式．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$g_n(x)=2^{n-1}-\dfrac 1x$
【解析】
由 $y=\dfrac x{1+x}$ 容易得到$$f(x)=\dfrac x{1-x}.$$由 $g_n(x)+\dfrac 1{f_n(x)}=0$，有$$g_n(x)=-\dfrac 1{f_n(x)}.$$又 $f_1(x)=f(x)$，得\[\begin{split}&f_2(x)=f_1[f_1(x)]=\dfrac{\dfrac x{1-x}}{1-\dfrac x{1-x}}=\dfrac x{1-2x},\\ & f_3(x)=f_2[f_2(x)]=\dfrac{\dfrac x{1-2x}}{1-\dfrac{2x}{1-2x}}=\dfrac{x}{1-2^2x},\\ & \cdots \end{split}\]由此猜想 $f_n(x)=\dfrac x{1-2^{n-1}x}$（$n\in \mathbb N^*$）．
下对 $n\in \mathbb N^*$ 进行归纳．
归纳基础 当 $n=1,2$ 时，显然成立．
递推证明 假设当 $n=k$ 时，$$f_k(x)=\dfrac x{1-2^{k-1}x}.$$当 $n=k+1$ 时，有\[\begin{split}f_{k+1}(x)&=f_k[f_k(x)]\\&=\dfrac{f_k(x)}{1-2^{k-1}f_k(x)}\\&=\dfrac{\dfrac{x}{1-2^{k-1}x}}{1-2^{k-1}\dfrac{x}{2^{k-1}x}}\\&=\dfrac{\dfrac{x}{1-2^{k-1}x}}{\dfrac{1-2^{k-1}x-2^{k-1}x}{1-2^{k-1}x}}\\&=\dfrac{x}{1-2^kx}.\end{split}\]当 $n=k+1$ 时猜想成立，故对一切 $n\in \mathbb N^*$，有$$g_n(x)=-\dfrac 1{f_n(x)}=2^{n-1}-\dfrac 1x.$$
下对 $n\in \mathbb N^*$ 进行归纳．
答案
解析
备注
