已知：集合 $S$ 由 $5$ 个非负实数构成，且满足对任意 $x,y\in S,x \geqslant y$，$x+y$ 与 $x-y$ 这两个数至少有一个属于 $S$．求证：一定存在正实数 $a$，使得集合 $S=\left\{0,a,2a,3a,4a\right\}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $S=\left\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\right\}$，不妨假设$$0 \leqslant a_1<a_2<a_3<a_4<a_5,$$取 $x=y=a_5$，则 $a_5-a_5=0\in S$，故 $a_1=0$．
令 $a_2=a>a_1=0$，由于$$a_5-a_5<a_5-a_4<a_5-a_3<a_5-a_2<a_5-a_1,$$且 $a_5-a_5,a_5-a_4,a_5-a_3,a_5-a_2,a_5-a_1$ 均是集合 $S$ 中的元素，所以$$a_1=a_5-a_5=0,a_2=a_5-a_4=a,a_3=a_5-a_3,a_4=a_5-a_2,$$因为 $a_4+a_3>a_4+a_2=a_5$，所以 $a_4-a_3\in S$，再考虑到 $0<a_4-a_3<a_5-a_3=a_3$，故 $a_4-a_3=a_2=a$．
由于 $2a_3=a_5=a_4+a_2$，故 $a_3-a_2=a_4-a_3=a$，所以$$a_5-a_4=a_4-a_3=a_3-a_2=a_2-a_1=a_2-0=a,$$故$$a_1=0,a_2=a,a_3=2a,a_4=3a,a_5=4a.$$综上所述，一定存在正实数 $a$，使得集合 $S=\left\{0,a,2a,3a,4a\right\}$．
令 $a_2=a>a_1=0$，由于$$a_5-a_5<a_5-a_4<a_5-a_3<a_5-a_2<a_5-a_1,$$且 $a_5-a_5,a_5-a_4,a_5-a_3,a_5-a_2,a_5-a_1$ 均是集合 $S$ 中的元素，所以$$a_1=a_5-a_5=0,a_2=a_5-a_4=a,a_3=a_5-a_3,a_4=a_5-a_2,$$因为 $a_4+a_3>a_4+a_2=a_5$，所以 $a_4-a_3\in S$，再考虑到 $0<a_4-a_3<a_5-a_3=a_3$，故 $a_4-a_3=a_2=a$．
由于 $2a_3=a_5=a_4+a_2$，故 $a_3-a_2=a_4-a_3=a$，所以$$a_5-a_4=a_4-a_3=a_3-a_2=a_2-a_1=a_2-0=a,$$故$$a_1=0,a_2=a,a_3=2a,a_4=3a,a_5=4a.$$综上所述，一定存在正实数 $a$，使得集合 $S=\left\{0,a,2a,3a,4a\right\}$．
答案
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备注
