已知 $f(x)$ 满足：对实数 $a,b$ 有 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$，且 $\left|f(x)\right|\leqslant1$，求证：$f(x)$ 恒为零．（可用以下结论：若 $\lim\limits_{x\to \infty}{g(x)}=0$，$\left|f(x)\right|\leqslant M$，$M$ 为一常数，那么 $\lim\limits_{x\to \infty}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=0$．）
【难度】
【出处】
2006年清华大学保送生暨自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a=b=0$，则 $f(0)=0$．
对于任意实数 $x_0\ne 0$，令 $b=x_0$，则$$f(ax_0)=af(x_0)+x_0f(a),$$当 $a\ne0$ 时，$$\dfrac{f(x_0)}{x_0}=\dfrac{f(ax_0)}{ax_0}-\dfrac{f(a)}{a},\cdots\cdots\text{ ① }$$因为 $\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac 1a}=0$，$|f(a)|\leqslant1$，所以$$\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac{f(ax_0)}{ax_0}}\to 0.$$因此对 ① 式两边取极限，得$$\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac{f(x_0)}{x_0}}=\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac{f(ax_0)}{ax_0}}-\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac{f(a)}{a}=0}.$$因为 $\dfrac{f(x_0)}{x_0}$ 是常数，故 $\dfrac{f(x_0)}{x_0}=0$，即 $f(x_0)=0$．
综上，$f(x)$ 恒为 $0$．
对于任意实数 $x_0\ne 0$，令 $b=x_0$，则$$f(ax_0)=af(x_0)+x_0f(a),$$当 $a\ne0$ 时，$$\dfrac{f(x_0)}{x_0}=\dfrac{f(ax_0)}{ax_0}-\dfrac{f(a)}{a},\cdots\cdots\text{ ① }$$因为 $\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac 1a}=0$，$|f(a)|\leqslant1$，所以$$\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac{f(ax_0)}{ax_0}}\to 0.$$因此对 ① 式两边取极限，得$$\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac{f(x_0)}{x_0}}=\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac{f(ax_0)}{ax_0}}-\lim\limits_{a\to\infty}{\dfrac{f(a)}{a}=0}.$$因为 $\dfrac{f(x_0)}{x_0}$ 是常数，故 $\dfrac{f(x_0)}{x_0}=0$，即 $f(x_0)=0$．
综上，$f(x)$ 恒为 $0$．
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备注
