已知圆周率 $\pi$ 是无理数，函数 $f(x)=\sin x+\sin (\pi x)$，求证：$f(x)$ 不是周期函数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数．我们研究函数 $f(x)$ 的零点，令 $f(x)=0$，则可得\[x=-\pi\cdot x+2k\pi,\]或\[x=\pi+\pi\cdot x+2k\pi,\]也即 $x=\dfrac{2k\pi}{1+\pi}$ 或 $x=\dfrac{(2k+1)\pi}{1-\pi}$，其中 $k\in\mathbb Z$．
由于 $f(T)=f(0)=0$，于是 $T=\dfrac{2n\pi}{1+\pi}$ 或 $T=\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi}$，其中 $n$ 是整数．
记 $x_1=\dfrac{2\pi}{1+\pi}$，$x_2=\dfrac{\pi}{1-\pi}$．若 $T=\dfrac{2n\pi}{1+\pi}$，则考虑\[x_2+T=\dfrac{\pi}{1-\pi}+\dfrac{2n\pi}{1+\pi},\]必然不在函数 $f(x)$ 的零点构成的集合中；类似的，若 $T=\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi}$，则考虑\[x_1+T=\dfrac{2\pi}{1+\pi}+\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi},\]必然不在函数 $f(x)$ 的零点构成的集合中．综上所述，原命题得证．
由于 $f(T)=f(0)=0$，于是 $T=\dfrac{2n\pi}{1+\pi}$ 或 $T=\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi}$，其中 $n$ 是整数．
记 $x_1=\dfrac{2\pi}{1+\pi}$，$x_2=\dfrac{\pi}{1-\pi}$．若 $T=\dfrac{2n\pi}{1+\pi}$，则考虑\[x_2+T=\dfrac{\pi}{1-\pi}+\dfrac{2n\pi}{1+\pi},\]必然不在函数 $f(x)$ 的零点构成的集合中；类似的，若 $T=\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi}$，则考虑\[x_1+T=\dfrac{2\pi}{1+\pi}+\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi},\]必然不在函数 $f(x)$ 的零点构成的集合中．综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
