某次考试共有 $333$ 名学生做对了 $1000$ 道题．做对 $3$ 道及以下为不及格，$6$ 道及以上为优秀，问不及格和优秀的人数哪个多？
【难度】
【出处】
2009年北京大学自主招生保送生考试
【标注】
【答案】
不及格的人数多或相等
【解析】
设优秀的人数为 $x$，则优秀的人做对的题目数至少为 $6x$，所以不优秀的人做对的题目数最多有 $1000 - 6x$ 道，从而及格但不优秀的人最多有 $\left[ {\dfrac{{1000 - 6x}}{4}} \right]$ 人．
因此不及格的人数最少有$$333 - x - \left[ {\dfrac{{1000 - 6x}}{4}} \right].$$若优秀的人比不及格的人多，则$$\begin{split}x &> 333 - x - \left[ {\frac{{1000 - 6x}}{4}} \right] \\&\geqslant 333 - x - \frac{{1000 - 6x}}{4},\end{split} $$解得 $x > 166$．
另外显然有$$6x \leqslant 1000 ,$$即$$ x \leqslant 166,$$这与 $x > 166$ 不符．因此不及格的人数不少于优秀的人数．等号是可以取到的，比如答对 $6$ 道题和 $0$ 道题的各有 $166$ 人，答对 $4$ 道题的有 $1$ 人．
因此不及格的人数最少有$$333 - x - \left[ {\dfrac{{1000 - 6x}}{4}} \right].$$若优秀的人比不及格的人多，则$$\begin{split}x &> 333 - x - \left[ {\frac{{1000 - 6x}}{4}} \right] \\&\geqslant 333 - x - \frac{{1000 - 6x}}{4},\end{split} $$解得 $x > 166$．
另外显然有$$6x \leqslant 1000 ,$$即$$ x \leqslant 166,$$这与 $x > 166$ 不符．因此不及格的人数不少于优秀的人数．等号是可以取到的，比如答对 $6$ 道题和 $0$ 道题的各有 $166$ 人，答对 $4$ 道题的有 $1$ 人．
答案
解析
备注
