求由正整数组成的集合 $S$（元素个数不少于 $2$），使 $S$ 中的元素之和等于元素之积．
【难度】
【出处】
2006年清华大学保送生暨自主招生试题
【标注】
【答案】
$\{1,2,3\}$
【解析】
设 $S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，其中 $a_1<a_2<\cdots<a_n$．
情形一 若 $n=2$，则$$a_1a_2=a_1+a_2,$$即$$(a_1-1)(a_2-1)=1,$$所以 $a_1=a_2=2$，不符合题意；
情形二 若 $n=3$，则$$a_1a_2a_3=a_1+a_2+a_3,$$即$$\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+\dfrac{1}{a_3a_1}=1,$$若 $a_1\geqslant2$，则$$a_2\geqslant3,a_3\geqslant4,$$从而$$\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+\dfrac{1}{a_3a_1}<1,$$矛盾．
因此 $a_1=1$，从而解得 $a_2=2,a_3=3$．
情形三 若 $n\geqslant4$，则$$a_1a_2\cdots a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,$$即$$\dfrac{a_1}{a_1a_2\cdots a_n}+\dfrac{a_2}{a_1a_2\cdots a_n}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_1a_2\cdots a_n}=1,$$因为 $a_i\geqslant i$，所以$$\begin{split}LHS&<\dfrac{na_n}{a_1a_2\cdots a_n}\\ &=\dfrac{n}{a_1a_2\cdots a_{n-1}}\\ &\leqslant \dfrac{n}{(n-1)!}<1,\end{split}$$无解．
综上知，集合 $S=\{1,2,3\}$．
因此 $a_1=1$，从而解得 $a_2=2,a_3=3$．
综上知，集合 $S=\{1,2,3\}$．
答案
解析
备注
