已知 $n$ 为正整数，求证：$\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
任取质数 $p$，只需证明\[
\left[\dfrac{2n}{p^k}\right] \geqslant \left[\dfrac{n}{p^k}\right]+\left[\dfrac{n+1}{p^k}\right]
\]对任意正整数 $k$ 恒成立．
利用带余除法，设$$n=p^kq+r,$$其中 $0\leqslant r \leqslant p^k-1$，则\begin{align*}
\left[\dfrac{2n}{p^k}\right]-\left[\dfrac{n}{p^k}\right]-\left[\dfrac{n+1}{p^k}\right]
&=\left(2q+\left[\dfrac{2r}{p^k}\right]\right)-q-\left(q+\left[\dfrac{r+1}{p^k}\right]\right)\\
&=\left[\dfrac{2r}{p^k}\right]-\left[\dfrac{r+1}{p^k}\right]\\
&\geqslant 0.
\end{align*}故 $\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数．
\left[\dfrac{2n}{p^k}\right] \geqslant \left[\dfrac{n}{p^k}\right]+\left[\dfrac{n+1}{p^k}\right]
\]对任意正整数 $k$ 恒成立．
利用带余除法，设$$n=p^kq+r,$$其中 $0\leqslant r \leqslant p^k-1$，则\begin{align*}
\left[\dfrac{2n}{p^k}\right]-\left[\dfrac{n}{p^k}\right]-\left[\dfrac{n+1}{p^k}\right]
&=\left(2q+\left[\dfrac{2r}{p^k}\right]\right)-q-\left(q+\left[\dfrac{r+1}{p^k}\right]\right)\\
&=\left[\dfrac{2r}{p^k}\right]-\left[\dfrac{r+1}{p^k}\right]\\
&\geqslant 0.
\end{align*}故 $\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数．
答案
解析
备注
