试利用三角函数求函数 $f(x) = 4 - 2{x^2} + x\sqrt {1 - {x^2}} $ 的最大值与最小值．
【难度】
【出处】
2004年同济大学自主招生优秀考生文化测试
【标注】
【答案】
最大值为 $3 + \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$，最小值为 $3 - \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$
【解析】
设 $x= \cos \theta , \theta \in \left[ {0, \pi} \right]$，则函数 $f(x)$ 可整理为$$\begin{split}g(\theta)&=4-2\cos^2\theta + \sin \theta \cos \theta\\ &=\dfrac{1}{2}\sin 2\theta- \cos 2\theta+3\\ &= \frac{{\sqrt 5 }}{2}\sin \left( {2\theta - \varphi } \right) + 3.\end{split}$$因为 $\theta\in[0,\pi]$，而 $\varphi$ 为锐角，所以函数 $f\left( x \right)$ 的最大值为 $3 + \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$，最小值为 $3 - \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$．
答案
解析
备注
