设集合 $A$ 是所有十进制表示中的数码不包含 $2,0,1,6$ 的正整数 $x$ 构成的集合．证明：集合 $A$ 中的所有元素的倒数之和 $\displaystyle \sum\limits_{x\in A}\dfrac{1}{x}<3$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛浙江省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
在 $k$ 位正整数中，各位上的数码不含数字 $2,0,1,6$ 的共有 $6^{k}$ 个，其中首位数字为 $3,4,5,7,8,9$ 的各有 $6^{k-1}$ 个，所以，在所有的 $k$ 位数中有\[\begin{split}\sum\limits_{k}\dfrac{1}{x_{n}}&<\dfrac{6^{k-1}}{3\times 10^{k-1}}+\dfrac{6^{k-1}}{4\times 10^{k-1}}+\dfrac{6^{k-1}}{5\times 10^{k-1}}+\dfrac{6^{k-1}}{7\times 10^{k-1}}+\dfrac{6^{k-1}}{8\times 10^{k-1}}+\dfrac{6^{k-1}}{9\times 10^{k-1}}\\&=\dfrac{6^{k-1}}{10^{k-1}}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}\right).\end{split}\]所以$$\displaystyle \sum\limits_{x\in A}\dfrac{1}{x}<\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{6}{10}\right)^{k-1}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}\right)<3.$$
答案
解析
备注
