定义闭集合 $S$：若 $a,b \in S$，则 $a + b \in S$，$a - b \in S$．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
-
请给出一个真包含于 ${\mathbb{R}}$ 的无限闭集合；标注答案${\mathbb{Z}}$，${\mathbb{Q}}$，偶数集等解析略
-
求证：对任意两个闭集合 ${S_1},{S_2} \subsetneqq {\mathbb{R}}$，存在 $c \in {\mathbb{R}}$，但 $c \notin {S_1} \cup {S_2}$．标注答案略解析用反证法．若不存在 $c \in {\mathbb{R}}$，使得 $c \notin {S_1} \cup {S_2}$，则$${S_1} \cup {S_2} = {\mathbb{R}}.$$设 ${c_1} \in {\mathbb{R}}\backslash {S_2}$，${c_2} \in {\mathbb{R}}\backslash {S_1}$，则$${c_1} \in {S_1},{c_2} \in {S_2},{c_1} \notin {S_2},{c_2} \notin {S_1}.$$考虑 ${c_1} + {c_2}$，有两种情形．
情形一 若 ${c_1} + {c_2} \in {S_1}$，则$$\left( {{c_1} + {c_2}} \right) - {c_1}= {c_2} \in {S_1},$$矛盾；情形二 若 ${c_1} + {c_2} \in {S_2}$，则$$\left( {{c_1} + {c_2}} \right) - {c_2} = {c_1} \in {S_2},$$矛盾．
综上，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
