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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21054 5c6babbf210b281db9f4c8b8 高中 解答题 自招竞赛 大小相同的12个圆盘按下述方式放置在半径为1的圆周 $C$ 上：它们将 $C$ 盖住，两两不重叠，从而每一个圆盘必和与之相邻的两个圆盘相切．圆盘的放置如图所示，已知这12个圆盘的面积之和能写成 $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( a-b\sqrt{c} \right)$ 之形式，其中 $a b c$ 都是正整数而 $c$ 不能被任何素数的平方整除，求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:27:05
21053 5c6babc6210b281db9f4c8bd 高中 解答题 自招竞赛 菱形 $PQRS$ 内接于矩形 $ABCD$，其中 $P$，$Q$，$R$ 和 $S$ 分别是线段 $AB$，$BC$，$CD$ 和 $DA$ 的内点（非端点），已知 $PB=15$，$BQ=20$，$PR=30$，$QS=40$．设既约分数 $\frac{m}{n}$ 为 $ABCD$ 的周长，试求 $m+n$． 2022-04-17 20:26:05
21036 5c6bd2fc210b281dbaa934dc 高中 解答题 自招竞赛 直线 ${{l}_{1}}$ 和 ${{l}_{2}}$ 均通过原点，与 $x$ 轴的正半轴在第一象限中分别形成 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{70}$ 和 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{54}$ 的夹角．对于任意一条直线 $l$ 进行变换，记该变换为 $R$，得到另一条直线 $R\left( l \right)$，变换 $R$ 为：$l$ 先经 ${{l}_{1}}$ 反射，所得直线（即以 ${{l}_{1}}$ 为对称轴，$l$ 的轴对称图形）再经 ${{l}_{2}}$ 反射，得到 $R\left( l \right)$．令 ${{R}^{(1)}}\left( l \right)=R\left( l \right)$；对于 $n\geqslant 2$，定义 ${{R}^{\left( n \right)}}\left( l \right)=R\left( {{R}^{\left( n-1 \right)}}\left( l \right) \right)$．已知直线 $l$ 为 $y$，$y=\frac{19}{92}x$，求使得 ${{R}^{\left( m \right)}}\left( l \right)=l$ 的最小正整数 $m$． 2022-04-17 20:17:05
21034 5c6bd30d210b281db9f4c90f 高中 解答题 自招竞赛 在三角形 $ABC$ 中，$AB=9$，$BC:CA=40:41$．这个三角形面积的最大值是多少？ 2022-04-17 20:16:05
21032 5c6bd319210b281db9f4c91b 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $n$，如果存在某个正整数 $m$，使得 $m!$ 的十进制表示中的末尾恰好有 $n$ 个零，那么就称 $n$ 是“阶乘尾零数”．在小于1992的正整数中有多少个不是“阶乘尾零数”？ 2022-04-17 20:15:05
21024 5c6cbdf6210b281dbaa93501 高中 解答题 自招竞赛 在给定圆的圆周上有2000个点，任取一点标上数1，按顺时针方向在标有1的点后数两个点，在第二个点上标上数2，从标有2的点后数3个点，在第三个点上标上数3（如图）．继续这个过程，分别标出1，2，…，1993，在圆周上的这些点中，有些点可能被标上多个数，有些点可能没有被标数，问标有数1993的那个点上被标出的最小数是多少？ 2022-04-17 20:10:05
21018 5c6e07a1210b281dbaa9355c 高中 解答题 自招竞赛 由能被3整除且比完全平方数小1的正整数组成的递增序列3，15，24，48，…，这个序列的第1994项除以1000的余数是多少？ 2022-04-17 20:07:05
21016 5c6e07c9210b281db9f4c9bc 高中 解答题 自招竞赛 对任意的实数 $x$，函数 $f\left( x \right)$ 有性质 $f\left( x \right)+f\left( x-1 \right)={{x}^{2}}$．如果 $f\left( 19 \right)=94$，那么，$f\left( 94 \right)$ 除1000的余数是多少？ 2022-04-17 20:05:05
21015 5c6e07da210b281db9f4c9c1 高中 解答题 自招竞赛 对实数 $x$，$\left[ x \right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数部分，求使 $\left[ {{\log }_{2}}1 \right]+\left[ {{\log }_{2}}2 \right]+\left[ {{\log }_{2}}3 \right]+\cdots +\left[ {{\log }_{2}}n \right]=1994$ 成立的正整数 $n$． 2022-04-17 20:05:05
21012 5c6e0820210b281dbaa9356f 高中 解答题 自招竞赛 求使方程组 $\left\{ \begin{align}
& ax+by=1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=50 \\
\end{align} \right.$ 至少有一解，且所有的解都是整数解的实数对 $\left( a b \right)$ 的个数．		 2022-04-17 20:03:05
21011 5c6e082c210b281dbaa93574 高中 解答题 自招竞赛 点 $\left( 0, 0 \right)$，$\left( a, 11 \right)$ 和 $\left( b ,37 \right)$ 是一个等边三角形的顶点．求 $a\cdot b$ 的值． 2022-04-17 20:02:05
21006 5c6e0892210b281dbaa93586 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，一束光以入射角 $\alpha =19.94{}^\circ $ 射到线段 $BC$ 的端点 $C$，然后以同样大小的角度反射出去，射到 $AB$ 又继续反射……光绕遵照“入射角等于反射角”的规律在 $AB$ 与 $BC$ 之间反射，若 $\beta =\frac{\alpha }{10}=1.994{}^\circ $，$AB=BC$，且计算中包括第一次由 $C$ 点的反射，试确定光线在两线段之间的反射次数． 2022-04-17 20:59:04
21003 5c6e149b210b281dbaa935a5 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\sqrt{1995}{{x}^{{{\log }_{{{1995}^{x}}}}}}={{x}^{2}}$ 的所有正根乘积的末三位数． 2022-04-17 20:57:04
21000 5c6e14c0210b281dbaa935b0 高中 解答题 自招竞赛 对于定实数 $a$，$b$，$c$，$d$，方程 ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ 有四个非实数根，其中两个根的积是 $13+\text{i}$，另两个根的和是 $3+4\text{i}$，其中 $\text{i}=\sqrt{-1}$，求 $b$． 2022-04-17 20:54:04
20992 5c6e153f210b281db9f4ca1d 高中 解答题 自招竞赛 在半径为42的圆中，两条长为78的弦交于一点，该点到圆心的距离为18，两条弦把圆的内部分成4个区域，其中有两块区域的面积相等，并且这两块区域的面积均可以用 $m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-n\sqrt{d}$ 的唯一形式表示，其中 $m$，$n$，$d$ 是正整数，且 $d$ 不被任何素数的平方整除，求 $m+n+d$． 2022-04-17 20:49:04
20985 5c6e3be2210b281db9f4ca5b 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\tan \left( 19x{}^\circ \right)=\frac{\cos 96{}^\circ +\sin 96{}^\circ }{\cos 96{}^\circ -\sin 96{}^\circ }$ 的最小正整数解． 2022-04-17 20:45:04
20972 5c6e514c210b287fc87f58ea 高中 解答题 自招竞赛 给定一个非负实数 $x$，用 $\left\langle x \right\rangle $ 表示 $x$ 的小数部分，即 $\left\langle x \right\rangle =x-\left[ x \right]$，其中 $\left[ x \right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．假设 $a>0$，$\left\langle {{a}^{-1}} \right\rangle =\left\langle {{a}^{2}} \right\rangle $ 且 $2<{{a}^{2}}<3$．求 ${{a}^{12}}-144{{a}^{-1}}$ 的值． 2022-04-17 20:39:04
20970 5c6e5163210b287fc7b09651 高中 解答题 自招竞赛 设 $\displaystyle x=\frac{\sum\limits_{n=1}^{44}{\cos n{}^\circ }}{\sum\limits_{n=1}^{44}{\sin n{}^\circ }}$，那么不超过 $100x$ 的最大整数是多少？ 2022-04-17 20:37:04
20969 5c6e516e210b287fc87f58f2 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f$ 被定义为 $f\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d}$，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 为非零实数，已知 $f\left( 19 \right)=19$，$f\left( 97 \right)=97$，且若 $x\ne -\frac{d}{c}$，则对于任意 $x$ 均有 $f\left( f\left( x \right) \right)=x$，试找出 $f\left( x \right)$ 值域以外的唯一数． 2022-04-17 20:37:04
20968 5c6e5178210b287fc87f58f8 高中 解答题 自招竞赛 设笛卡儿平面上的点集 $S$ 满足 $\left| \left| |x \right|-2\left| -1 \right|+\left| \left| |y \right|-2 \right|-1 \right|=1$．若由 $S$ 组成的圆形是由厚度不计的绳子围成的，那么需要绳子的总长为 $a\sqrt{b}$，其中 $a$，$b$ 为正整数，且 $b$ 不能被任意素数的平方整除．求 $a+b$． 2022-04-17 20:36:04
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