给定一个非负实数 $x$，用 $\left\langle x \right\rangle $ 表示 $x$ 的小数部分，即 $\left\langle x \right\rangle =x-\left[ x \right]$，其中 $\left[ x \right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．假设 $a>0$，$\left\langle {{a}^{-1}} \right\rangle =\left\langle {{a}^{2}} \right\rangle $ 且 $2<{{a}^{2}}<3$．求 ${{a}^{12}}-144{{a}^{-1}}$ 的值．
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
233
【解析】
由于 $2<{{a}^{2}}<3$，从而 $\sqrt{2}<a<\sqrt{3}$，故 $\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{1}{a}>\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是 $\left\langle\frac{1}{a} \right\rangle =\frac{1}{a}$，$\left\langle{{a}^{2}} \right\rangle ={{a}^{2}}-2$，故由题意知，$\frac{1}{a}={{a}^{2}}-2$，即 $\left( a+1\right)\left( {{a}^{2}}-a-1 \right)=0$，又 $a>0$，从而 ${{a}^{2}}=a+1$．
由于 $\frac{1}{a}={{a}^{2}}-2$，故 ${{a}^{3}}=2a+1$，代入 ${{a}^{12}}={{\left({{a}^{3}} \right)}^{4}}$ 知
${{a}^{12}}={{\left(2a+1 \right)}^{4}}=16{{a}^{4}}+32{{a}^{3}}+24{{a}^{2}}+8a+1$
$=16a\left( 2a+1 \right)+32\left( 2a+1\right)+24{{a}^{2}}+8a+1$
$=56{{a}^{2}}+88a+33$．
又 $\frac{1}{a}=-{{a}^{2}}-2$，故
${{a}^{12}}-144{{a}^{-1}}=56{{a}^{2}}+88a+33-144\left({{a}^{2}}-2 \right)$
$=321+88\left( a-{{a}^{2}} \right)$
$=233$．
其中最后一步利用 ${{a}^{2}}=a+1$．
故 ${{a}^{12}}-144{{a}^{-1}}=233$．
由于 $\frac{1}{a}={{a}^{2}}-2$，故 ${{a}^{3}}=2a+1$，代入 ${{a}^{12}}={{\left({{a}^{3}} \right)}^{4}}$ 知
${{a}^{12}}={{\left(2a+1 \right)}^{4}}=16{{a}^{4}}+32{{a}^{3}}+24{{a}^{2}}+8a+1$
$=16a\left( 2a+1 \right)+32\left( 2a+1\right)+24{{a}^{2}}+8a+1$
$=56{{a}^{2}}+88a+33$．
又 $\frac{1}{a}=-{{a}^{2}}-2$，故
${{a}^{12}}-144{{a}^{-1}}=56{{a}^{2}}+88a+33-144\left({{a}^{2}}-2 \right)$
$=321+88\left( a-{{a}^{2}} \right)$
$=233$．
其中最后一步利用 ${{a}^{2}}=a+1$．
故 ${{a}^{12}}-144{{a}^{-1}}=233$．
答案
解析
备注
